Корни многочлена Чебышева-Лагерра

[NEvOl]

Помогите пожалуйста разобраться с задачкой:
Доказать, что у многочлена Чебышева-Лагерра
$L_n(x)=e^{x}\frac{d^n}{dx^n}\{x^ne^{-x}\}$ все корни положительные.

Решаю по индукции так:
Возьмем произвольное $n \in \mathbb{N}$
и рассмотрим при $k=1$ функцию вида $f_k(x)=\frac{P_k(x)}{e^x}=\frac{d^k}{dx^k}\{\frac{x^n}{e^{x}}\}$ где $P_k(x)$ многочлен степени $n$.
$f_1(x)=\frac{P_1(x)}{e^x}=\frac{d}{dx}\{\frac{x^n}{e^{x}}\}=\frac{x^{n-1}(n-x)}{e^{x}}$
$f_1(x)$ имеет 1 корень больше нуля и $n-1$ кратный корень 0. Заметим что $\lim_{x \to +\infty} {f_1(x)} = 0$

Предположим что $\forall k<m$ функция $f_k(x)$ имеет $k$ корней больше 0 и $n-k$ кратных корней 0 и $\lim_{x \to +\infty} {f_k(x)} = 0$.

Рассмотрим $f_{k+1}(x)=\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}\{\frac{x^n}{e^{x}}\}=(f_k(x))'$
В таком случае т.к. $f_k(x)$ обращается в 0 в точках 0, $x_1$, $x_2$, ... $x_k$ то по теореме Ролля $f_{k+1}(x)$ имеет в каждом интервале $(0, x_1)$, $(x_1, x_2)$, ... $(x_{k-1}, x_k)$ корень, таким образом $f_{k+1}(x)$ имеет k корней больше 0. Заметим что $\lim_{x \to +\infty} {f_k(x)} = 0$, тогда на интервале $(x_k, +\infty)$ будет еще одна точка в которой $f_{k+1}(x)$ обращается в 0 и того $k+1$ корень больше 0.
С другой стороны $f_{k+1}(x)=(f_k(x))'=\frac{(P_k(x))'-P_k(x)}{e^x}$.
Т.к. $P_k(x)$ имеет $n-k$ кратных корней 0, от $(P_k(x))'$ имеет $n-k-1$ кратных корней 0 и $(P_k(x))'-P_k(x)$ имеет $n-k-1$ кратных корней 0. Т.к. у $f_{k+1}(x)$ всего $n$ корней то $(k+1)+(n-k-1)=n$ и больше корней нет. При этом $\lim_{x \to +\infty} {f_{k+1}(x)} = 0$. Значит $\forall k \in \mathbb{N}$ $\forall n \in \mathbb{N}$ $\frac{d^k}{dx^k}\{\frac{x^n}{e^{x}}\}$ имеет $k$ корней больше 0 и $n-k$ кратных корней 0.

Скажите пожалуйста, верно ли я решаю ?

[ewert]

Не знаю, что загадывалось сочинителями задачки. Но приплетать сюда формулы Родрига -- откровенное издевательство.

Поскольку все такого рода полиномы не потому Полиномы, что они производные, а потому, что они ортогональны. На каком-то промежутке и с каким-то весом.

И не важно, с каким. Ибо есть общая теорема: для любой системы ортогональных многочленов все их корни простые, вещественные и лежат внутри промежутка ортогональности. И, между прочим, крайне простая теорема.

Так что куда ни кинь -- всюду клин издевательство. Правильное д-во: "это очевидно".

[Евгений Машеров]

А что-нибудь ещё про функцию Лагерра известно? Скажем, можно ли явно выписать выражение для неё?

[NEvOl]

Могу только сказать что эта задачка из Демидовича, тема Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Я попытался решить ее с использованием теоремы Ролля.

[sergei1961]

Как то так она и решается в Фихтенгольце, если память не подводит. И без ортогональности.
Явное выражение можно выписать, как и для любой гипергеометрической функции.

[Евгений Машеров]

Ну вот если выписать явное выражение, посмотреть, чему оно равно при $x=0$ и что делают все слагаемые при $x<0$...
Но то ли это, что хотел преподаватель/автор задачи от гг. студентов - не вем.