Помогите пожалуйста разобраться с задачкой:
Доказать, что у многочлена Чебышева-Лагерра
все корни положительные.
Решаю по индукции так:
Возьмем произвольное
и рассмотрим при
функцию вида
где
многочлен степени
.
имеет 1 корень больше нуля и
кратный корень 0. Заметим что
Предположим что
функция
имеет
корней больше 0 и
кратных корней 0 и
.
Рассмотрим
В таком случае т.к.
обращается в 0 в точках 0,
,
, ...
то по теореме Ролля
имеет в каждом интервале
,
, ...
корень, таким образом
имеет k корней больше 0. Заметим что
, тогда на интервале
будет еще одна точка в которой
обращается в 0 и того
корень больше 0.
С другой стороны
.
Т.к.
имеет
кратных корней 0, от
имеет
кратных корней 0 и
имеет
кратных корней 0. Т.к. у
всего
корней то
и больше корней нет. При этом
. Значит
имеет
корней больше 0 и
кратных корней 0.
Скажите пожалуйста, верно ли я решаю ?