Две задачки для школьников.

[Коровьев]

Задачи на кажущуюся недостаточность данных.
Задача 1.
Некий господин, гуляя, прошёл по дороге со скоростью 4км/сек, поднялся на горку соскоростью 3км/сек, спустился с неё со скоростью 6км/сек и вернулся домой по дороге со скоростью 4км/сек. Гулял он два часа.
Найти пройденный путь.
Задача 2.
В шаре по центру просверлено отверстие.
Найти объём оставшейся части, если известно, что её высота равна 4мм

[General]

1 - Действительно, если подняться и спуститься с горки, средняя скорость составит $\frac {2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} =4$, так что всего он прошёл 8 км.

2 - подумаю

Вот ещё про кажущуюся недостаточность: 2 парома отчаливают одновременно от противоположных берегов реки. Они встречаются на расстоянии 700 м от одного берега, продолжают свыой путь. Дойдя до противоположных берегов они разворачиваются и вторая встреча происходит на расстоянии 300 м от другого берега. Найти ширину реки.

[Профессор Снэйп]

Коровьев писал(а):

Некий господин, гуляя, прошёл по дороге со скоростью 4км/сек, поднялся на горку соскоростью 3км/сек, спустился с неё со скоростью 6км/сек и вернулся домой по дороге со скоростью 4км/сек. Гулял он два часа. Найти пройденный путь.

А чё, скорость у него реально километры в секунду? Ещё чуть-чуть и на орбиту выйдет!

Добавлено спустя 3 минуты 15 секунд:

А во второй задаче я просто условие не понимаю. Что значит "высота оставшейся части шара"?

Добавлено спустя 10 минут 58 секунд:

Впрочем, если я всё же правильно понял условие второй задачи, то ответ будет $32\pi/3$ кубических миллиметра. Правильно?

[arqady]

Коровьев писал(а):

В шаре по центру просверлено отверстие.
Найти объём оставшейся части, если известно, что её высота равна 4мм

Это Квант номер 10 за 1971 год ( задачник Кванта ).

[Коровьев]

Что до второй задачи, то рассказывают
Задача была опубликована в одном американском журнале для школьников. И был получен примерно такой ответ:
-Господин редактор, поскольку не задан диаметр, а Вы никогда не ошибаетесь, то ответ не зависит от диаметра отверстия. Тогда просверлим шар сверлом нулевого диаметра. Оставшийся объём будет равен объёму шара радиуса 2 мм. А это равно 4/3 \pi 2^3мм$^3$
Впрочем это можно и проверить, решив задачу, что мне самому лень, да я и верю редактору.

[Профессор Снэйп]

Коровьев писал(а):

Впрочем это можно и проверить, решив задачу

Было бы что решать!

Элементарными вычислениями показывается, что ответ равен

$$ \int\limits_{-R\cos\varphi}^{R\cos\varphi} \pi(R^2 - h^2 - R^2\sin^2\varphi)\,dh $$

с условием $R\cos\varphi =2$.

Вы вот лучше скажите: про километры в секунду --- это в условии так и есть или это Ваша опечатка?

[Kid Kool]

Коровьев писал(а):

Некий господин, гуляя, прошёл по дороге со скоростью 4км/сек

Этакий сверхзвуковой господин : )))

[Коровьев]

Kid Kool писал(а):

Коровьев писал(а):

Некий господин, гуляя, прошёл по дороге со скоростью 4км/сек

Этакий сверхзвуковой господин : )))

Ой, да уж тыкнули уже, не править же теперича, а то тычки повиснут в воздухе.
Профессор Снэйп

Цитата:

А чё, скорость у него реально километры в секунду? Ещё чуть-чуть и на орбиту выйдет!

[maxal]

Коровьев писал(а):

Задача 2.
В шаре по центру просверлено отверстие.
Найти объём оставшейся части, если известно, что её высота равна 4мм

http://mathworld.wolfram.com/SphericalRing.html

[Salvador]

General писал(а):

Вот ещё про кажущуюся недостаточность: 2 парома отчаливают одновременно от противоположных берегов реки. Они встречаются на расстоянии 700 м от одного берега, продолжают свыой путь. Дойдя до противоположных берегов они разворачиваются и вторая встреча происходит на расстоянии 300 м от другого берега. Найти ширину реки.

Пусть паром 1 впервые встретился с паромом 2 через T минут после отплытия, проплыв при этом 700 м. Вторая их встреча произошла через 3T минут. Паром 1 за это время проплыл 2100 м, причем 300 последних метров он плыл в обратном направлении, т.е. противоположного берега достиг, проплыв 1800 м.

Спасибо, интересная задачка. Надо запомнить

[Коровьев]

А вот ещё задачка. Простая, но зато от самого Архимеда!
Архимед. Сочинения. Физматгиз, 1962. /Сылка на ссылку от Д.Пойя/
В окружность вписаны две окружности. См.рисунок.
Найти площадь заштрихованной части, если известна длина касательной, проведённой между окружностями... И диаметр внешней окружности, кому мало длины касательной.

[Kid Kool]

$\frac{{\pi}l^2}{8}$

[Коровьев]

А вот ещё задачка.
На прямой расположено $k$ точек.
Найти точку сумма расстояний от которой до всех точек минимальна.
Кому этого мало - координаты точек: $x_i$

[Brukvalub]

Достаточно понять,что для двух различных точек решением задачи является любая точка отрезка с концами в этих точках, после чего разбить точки парами так, чтобы получились вложенные отрезки с концами в этих парах.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Достаточно понять,что для двух различных точек решением задачи является любая точка отрезка с концами в этих точках, после чего разбить точки парами так, чтобы получились вложенные отрезки с концами в этих парах.

Добавлю, что если число точек нечётно, то самый внутренний отрезок выродится в точку.