Двойные смежные классы

[gogoshik]

Помогите, плиз, разобрать такую вот задачу про смежные классы.
$D_3$ - группа симметрий правильного треугольника. $H$ - подгруппа в $D_3$, порожденная одним отражением. Рассмотрим двойной смежный класс $HaH$ по паре подгрупп $(H,H)$. Нужно найти количество элементов в $HaH$, если: 1) $a$ является отражением, не совпадающим с образующей группы $H$; 2) $a$ является нетождественным поворотом.
У меня получается так. По определению двойной смежный класс (double coset) группы $G$ по паре подгрупп $(F, H)$ - это произведение вида: $FgH = \left\lbrace fgh | f \in F, h \in H\right\rbrace$. В данном случае это будет: $HaH = \left\lbrace hah | h \in H\right\rbrace$. Я взял $H = \left\lbrace e, g\right\rbrace$, где $e$ - единица группы, $g$ - одно из трех отражений: $g, f, d$. Тогда пусть элементом $a$ будет отражение $f$. Теперь мне нужно перемножить элементы множеств: $\left\lbrace e, g\right\rbrace$, $\left\lbrace f\right\rbrace$. Я так и сделал и получил 4 элемента: $efe=f, gfe=gf, efg=fg, gfg$. Это и будет требуемое количество элементов для пункта 1 задачи или я ошибся?
Заранее спасибо!

[AV_77]

Вычисления сами проверьте (какие там элементы получатся и сколько из них разных), а так правильно. Кстати, $HaH = \{ h_1 a h_2 \mid h_1, h_2 \in H \}$.

[gogoshik]

Спасибо за проверку и уточнение!