Сумма делителей числа

[Rusit8800]

При решении одной задачи возник вопрос, который обобщает эту задачу:
Пусть $n=$$n = p_1^{{d_1}} \cdot p_2^{{d_2}} \cdot \ldots \cdot p_k^{{d_k}}$$ $, где ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}} $ — простые числа, и ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k}} $ — некоторые натуральные числа. Какова сумма делителей числа $n$?
Можно расширить эту задачу, сказав, что каждый из таких делителей должен делится на некоторое число $p_i^{{d_i}}$. Известен ли этот результат?

[arseniiv]

Если нужна только сумма делителей, делящихся на $p_i^{d_i}$, можно вынести это $p_i^{d_i}$ за скобки и свести задачу к делителям числа $n/p_i^{d_i}$.

-- Пт мар 10, 2017 21:48:30 --

Притом вместо $p_i^{d_i}$ можно взять любой делитель $n$, а не только степень простого.

[grizzly]

Rusit8800 в сообщении #1198857 писал(а):

Какова сумма делителей числа $n$?

См. стр. 366 и 367 здесь. Это несложно. Тренируйтесь понемногу искать в гугле.

Rusit8800 в сообщении #1198857 писал(а):

Можно расширить эту задачу, сказав, что каждый из таких делителей должен делится на некоторое число $p_i^{{d_i}}$.

Представьте собственные попытки решения.

[arseniiv]

Ой, я всё испортил, наверное.

[Rusit8800]

Значит, результат известен.

-- 10.03.2017, 21:17 --

arseniiv в сообщении #1198860 писал(а):

Если нужна только сумма делителей, делящихся на $p_i^{d_i}$, можно вынести это $p_i^{d_i}$ за скобки и свести задачу к делителям числа $n/p_i^{d_i}$.

Точно.

-- 10.03.2017, 21:20 --

Получается такая незамысловатая формула суммы делителей:

$$\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{p_i^{{d_i} + 1} - 1}}{{{p_i} - 1}}} $$

[Sinoid]

Rusit8800 в сообщении #1198887 писал(а):

Получается такая незамысловатая формула суммы делителей:

$$\prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{p_i^{{d_i} + 1} - 1}}{{{p_i} - 1}}} $$

Еще можно порекомендовать раскрыть скобки и посмотреть, что будет, это несложно.

-- 11.03.2017, 14:14 --

Тут недалеко и задача вычисления количества делителей натурального числа.

[Rusit8800]

Sinoid в сообщении #1199072 писал(а):

Тут недалеко и задача вычисления количества делителей натурального числа.

Это было в ссылке grizzly

-- 11.03.2017, 17:50 --

Sinoid в сообщении #1199072 писал(а):

Еще можно порекомендовать раскрыть скобки и посмотреть, что будет, это несложно.

Это было доказательстве. Там была прогрессия.

[ex-math]

Rusit8800
Лучше не играться, а почитать, например, Виноградова "Основы теории чисел".

[Sinoid]

ex-math в сообщении #1199201 писал(а):

Лучше не играться, а почитать, например, Виноградова "Основы теории чисел".

А перед этим Нестеренко.