Наивные вопросы о компактности

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о компактности и ее обобщениях (локальной компактности, финальной компактности, счетной компактности и т.д.).

Вопрос № 1.

Система подмножеств $\Gamma$ топологического пространства $X$ называется локально конечной, если у каждой точки $x \in X$ найдется окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов $\Gamma$.

Доказать, что в счетно компактном пространстве любое локально конечное семейство непустых множеств конечно.

Как я понимаю, надо использовать тот факт, что в счетно компактном пространстве пересечение центрированной счетной системы множеств непусто (система множеств называется центрированной, если пересечение любой ее конечной подсистемы непусто). Будем доказывать от противного. Возьмем бесконечное, но локально конечное семейство непустых множеств $\{A_i\}$ и покажем, что пространство не счетно компактно. Достаточно рассмотреть случай, когда $\{A_i\}$ счетное, ведь из системы большей мощности выделить счетную подсистему можно всегда, а всякая подстистема локально конечной системы множеств локально конечна. Легко показать, что если система $\{A_i\}$ локально конечна, то и система $\{[A_i]\}$ локально конечна (квадратные скобки означают замыкание). Очевидно также, что пересечение бесконечной, но локально конечной системы пусто. Напрашивается решение вылепить из $\{[A_i]\}$ центрированную систему, пересечение которой равно $\cap[A_i]$. Вот и вопрос, как это сделать.
Система $\{P_k\}$, где $P_k = \cap_{i = 1}^{k}[A_i]$, не обязательно центрирована. Система $\{S_k\}$, где $S_k = \cup_{i = 1}^{k}[A_i]$, имеет своим пересечением непустое $[A_1]$. Энгелькинг использует систему $\{F_k\}$, где $F_k = \cup_{i = k}^{\infty}[A_i]$, но я не вижу, почему ее элементы замкнуты. Сгоряча попытался доказать, что объединение локально конечной системы замкнутых множеств замкнуто, но не преуспел.

Пните меня, что ли, в нужном направлении.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1197905 писал(а):

надо использовать тот факт, что в счетно компактном пространстве пересечение центрированной счетной системы множеств непусто

Поправка: замкнутых множеств.

Докажите, что множества $F_i=\bigcup\limits_{j=i}^{\infty}[A_j]_X$ замкнуты и образуют центрированную систему с пустым пересечением. (Квадратные скобки обозначают замыкание.)

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1197939 писал(а):

Поправка: замкнутых множеств.

Да, разумеется. Я был уверен, что это слово я написал.

Someone в сообщении #1197939 писал(а):

Докажите, что множества $F_i=\bigcup\limits_{j=i}^{\infty}[A_j]_X$ замкнуты

Вот с этим пунктом у меня и проблемы. Почему они замкнуты? Объединение бесконечной системы замкнутых множеств не обязано быть замкнутым. Значит, надо как-то использовать локальную конечность этой системы.
Ну, предположим, что объединение $C$ локально конечной системы замкнутых множеств $\{C_j\}$ незамкнуто. Т.е. у него есть точка $x \notin C$, в каждой окрестности которой найдется точка из какого-нибудь $C_j$, вообще говоря, своего для каждой окрестности. Мы можем поручиться, что нет $C_j$, который подходит для всех окрестностей, так как иначе $x \in C_j$ и, следовательно, $x \in C$. Где тут противоречие с локальной конечностью? В упор не вижу.

-- 07.03.2017, 20:27 --

Ну, с пространством наименьших окрестностей все понятно, поэтому речь не о них. В пространстве с первой аксиомой счетности я бы рассмотрел убывающую определяющую систему $U_1 \supset U_2 \supset \dots$ окрестностей точки $x$. Рассмотрим ее произвольный элемент $U_n$. Он пересекается с некоторым $C_j$. Т.к. $C_j$ пересекается не со всеми окрестностями, значит, должно быть $U_{m > n}$, которое пересекается с каким-нибудь $C_{j2}$, и тогда $U_n$ пересекается уже и с $C_j$, и с $C_{j2}$. И так далее. Не пойму, нужна ли тут эта самая аксиома. Если счетной определяющей системы окрестностей не существует, то как построить убывающую? Вполне упорядочив множество индексов по теореме Цермело?

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1197954 писал(а):

Ну, предположим, что объединение $C$ локально конечной системы замкнутых множеств $\{C_j\}$ незамкнуто. Т.е. у него есть точка $x \notin C$, в каждой окрестности которой найдется точка из какого-нибудь $C_j$, вообще говоря, своего для каждой окрестности.

Давайте не будем спешить и усложнять. Пусть $F_i=\bigcup\limits_{j=i}^{\infty}[A_j]_X$ не замкнуто и $x\in[F_i]_X\setminus F_i$ (то есть, $x$ — предельная точка множества $F_i$, не принадлежащая $F_i$). Однако $\{A_i:i\in\mathbb N\}$ — локально конечное семейство, поэтому у точки $x$ существует окрестность $Ux\subseteq X$, которая…

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1198002 писал(а):

поэтому у точки $x$ существует окрестность $Ux\subseteq X$, которая…

пересекается лишь с конечным числом элементов последовательности $\{[A_k] : k \geqslant i\}$. Рассмотрим объединение $P$ элементов последовательности $\{[A_k] : k \geqslant i\}$, пересекающихся с $U_x$. Оно замкнуто как объединение конечного числа замкнутых множеств. Рассмотрим множество $U_x \setminus P$. Оно открыто как открытое множество без замкнутого. Далее, ни один элемент $\{[A_k] : k \geqslant i\}$ не содержит $x$, иначе $x$ содержалось бы в их объединении, равном $F_i$, а это не так по предположению. Следовательно, $x \in U_x \setminus P$. Тогда $U_x \setminus P$ есть окрестность точки $x$, не пересекающаяся с $F_i$, а это противоречит предположению, что $x$ - точка прикосновения $F_i$. То есть предположение о существовании у $F_i$ точки прикосновения $x \notin F_i$ входит в противоречие с условием задачи. Поэтому $F_i$ замкнуто.

[Someone]

Ну и осталось только доказать, что семейство $\{F_i:i\in\mathbb N\}$ центрированное, и что $\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}F_i=\varnothing$.

[Anton_Peplov]

А тут и доказывать нечего, это очевидно.

Вопрос № 1 закрыт, спасибо.

Странно человеческая голова устроена. За вчерашний день я несколько раз стоял перед

Someone в сообщении #1198002 писал(а):

Пусть $F_i=\bigcup\limits_{j=i}^{\infty}[A_i]_X$ не замкнуто и $x\in[F_i]_X\setminus F_i$ (то есть, $x$ — предельная точка множества $F_i$, не принадлежащая $F_i$). Однако $\{A_i:i\in\mathbb N\}$ — локально конечное семейство, поэтому у точки $x$ существует окрестность $Ux\subseteq X$, которая…

и видел глухую стену. Ну вот никак у меня не получалось сообразить, как из этого вывести противоречие. И я решал, что путь не здесь. Часто же так бывает, что путь не здесь, что есть другое рассуждение - через эквивалентные определения, другие свойства и так далее - в котором все получается легче и проще. И начинал блуждать вокруг да около в поисках этого пути. А вот поставил меня знающий человек (спасибо!) перед этой стеной и сказал: путь таки здесь. Вот здесь он, и хоть убейся. И я с отчаяния начал долбить стену. И продолбил за каких-то пятнадцать минут.

А все-таки мне интересно, верно ли, что у любой точки в произвольном топологическом пространстве есть убывающая определяющая система окрестностей (возможно, несчетная)?

Какая-то определяющая система окрестностей $\{U\}$ заведомо есть - ею является, на крайний случай, система всех окрестностей точки. По теореме Цермело (ну а кто занимается топологией без аксиомы выбора?) на ней можно ввести полный и, следовательно, линейный порядок. Для счетных систем мы строим окрестности $O_i = \cap_{k \leqslant i} U_k$, но в общем случае такое не прокатит, ведь $\cap_{\beta \leqslant \alpha} U_\beta$ не обязано быть открытым (поскольку множество всех $\beta \leqslant \alpha$ не обязательно конечное).

Вот всегда у меня из неудачных попыток доказательства рождаются новые вопросы...

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1198086 писал(а):

А все-таки мне интересно, верно ли, что у любой точки в произвольном топологическом пространстве есть убывающая определяющая система окрестностей (возможно, несчетная)?

В счётном случае такая система строится легко, а в несчётном это является весьма редкой возможностью, даже если речь идёт всего лишь об одной точке.

[Anton_Peplov]

Спасибо.

[Padawan]

Сначала доказать, что для любой (бесконечной) последовательности точек найдется точка, в любой окрестности которой лежит бесконечно много членов данной последовательности. Потом выбрать в каждом множестве по точке. Получим противоречие с локальной конечностью.