Интегрирование дельта-функции Дирака

[Dellghin]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как посчитать интеграл $\int\limits_0^a \delta(x)dx$. Тут видимо должен получится скачок, но я не понимаю, как здесь устремиться к нулю с двух сторон, ведь $a$ или только больше нуля, или меньше.

[mihaild]

В таком виде - никак, дельта-функция не является функцией на $\mathbb{R}$, и интегрировать ее по отрезку нельзя. Можно взять $\delta(I_{[0; a]})$, если бы $\delta$ у нас определялась на пространстве пробных функций, включающих индикаторы, но обычно от пробных функций хочется гладкости.

[Munin]

Топорно "для инженеров" поведение интеграла от дельты можно доопределить, например, чтобы интеграл от отрезка, начинающегося в нуле, равнялся $1/2.$

Надо только понимать, что это математически некорректно и не соответствует чему-то особо осмысленному.

[Red_Herring]

Ясно, что если исходить из определения, то такой интеграл неопределён. И если отвечать коротко, то правильный ответ "не определён"

Однако существуют различные процедуры регуляризации, и вполне разумно считать, что интеграл действительно 1/2. Например, $\delta$ чётная обобщённая функция, а для чётных функций интеграл от 0 до $\infty$ равен половине интеграла по всей прямой. Но всегда нужно сделать оговорку выше.