Порядок подгруппы вращений тетраэдра

[gogoshik]

Опять про группы. Проверьте прав ли я здесь, плиз!
В группе всех вращений тетраэдра рассмотрим подгруппу, порожденную двумя поворотами на 180° вокруг осей, соединяющих середины противоположных ребер этого тетраэдра. Сколько элементов в этой подгруппе?
Я думаю что 6. Группа вращений имеет всего 12 элементов и поэтому элементов подгруппы должно быть не более. Каждый заданный поворот порождает подгруппу из трех элементов. Поворотов у нас два, поэтому всего элементов будет $2\cdot3=6$.
Если я не прав дайте толчок к пониманию!

[AV_77]

gogoshik в сообщении #1197199 писал(а):

Если я не прав дайте толчок к пониманию!

Нарисуйте тетраэдр. Обозначьте его вершины числами от 1 до 4 в любом порядке. Затем для каждой оси, соединяющей середины сторон, выпишите подстановку на множестве вершин, которую этот поворот выполняет.

[gogoshik]

Я затрудняюсь с условием. Что такое "...порожденную двумя поворотами на 180°..." - это поворот на 360° или поворот вокруг двух осей (хотя их три) на 180°? Не пойму что тут?

[Brukvalub]

gogoshik в сообщении #1197206 писал(а):

Не пойму что тут?

Рассмотрите композиции поворотов вокруг всевозможных пар осей, включая случаи повторяющихся осей.

[gogoshik]

Хм... Есть три оси, вокруг каждой тетраэдр поворачиваем на 180° и получаем самосовмещение. Надо рассмотреть 9 композиций?

[Someone]

gogoshik в сообщении #1197215 писал(а):

Есть три оси, вокруг каждой тетраэдр поворачиваем на 180° и получаем самосовмещение. Надо рассмотреть 9 композиций?

Из трёх осей выберите две, как сказано в условии. Найдите порядок подгруппы, образованной поворотами на 180° вокруг этих осей.

[gogoshik]

Спасибо!
Проверьте. Сделал по вашим подсказкам и получилось 4. Это подгруппа из элементов $e$, $a$, $b$ и $c=ab=ba$, где $a, b$ - повороты вокруг двух выбранных осей.

[Someone]

gogoshik в сообщении #1197303 писал(а):

Это подгруппа из элементов $e$, $a$, $b$ и $c=ab=ba$, где $a, b$ - повороты вокруг двух выбранных осей.

Точно $ab=ba$? А пробовали записать повороты как подстановки на множестве вершин? И поперемножать их, чтобы уж точно убедиться.

[gogoshik]

Хм...
Вот как:
$a=\binom{1 2 3 4}{4 3 2 1}$, $b=\binom{1 2 3 4}{3 4 1 2}$

$a\cdot b = \binom{3 4 1 2}{2 1 4 3}$, $b\cdot a = \binom{4 3 2 1}{2 1 4 3}$

[Someone]

gogoshik в сообщении #1197320 писал(а):

Вот как:
$a=\binom{1 2 3 4}{4 3 2 1}$, $b=\binom{1 2 3 4}{3 4 1 2}$

$a\cdot b = \binom{3 4 1 2}{2 1 4 3}$, $b\cdot a = \binom{4 3 2 1}{2 1 4 3}$

Что-то странное. Расставьте элементы первых строк в естественном порядке.

[gogoshik]

Я пронумеровал вершины в произвольном порядке $(1234)$. Пусть одна ось вращения проходит через середины ребер $(14)$ и $(32)$, вторая ось через $(13)$ и $(24)$, а третья ось через $(12)$ и $(34)$.
Получаем три элемента подгруппы вращения на $\pi$ относительно этих осей:
$a=\binom{1234}{4321}$, $b=\binom{1234}{3412}$, $c=\binom{1234}{2143}$.
Или не так? Что такое в естественном порядке?

[Someone]

gogoshik в сообщении #1197473 писал(а):

Что такое в естественном порядке?

$1234$.

Против $a$, $b$, $c$ я не возражаю, а вот $ab$ и $ba$ подкачали. Если Вы в этих произведениях

gogoshik в сообщении #1197320 писал(а):

$a\cdot b = \binom{3 4 1 2}{2 1 4 3}$, $b\cdot a = \binom{4 3 2 1}{2 1 4 3}$

упорядочите столбцы так, чтобы первая строка превратилась в $1234$, то увидите, что произведения вычислены неправильно.

[gogoshik]

Oй! Вы мне открыли тайну! Оказывается просто их надо упорядочивать по первой строке!
$a\cdot b = \binom{1 2 3 4}{4 3 2 1} = a$, $b\cdot a = \binom{1 2 3 4}{3 4 1 2}=b$.
Просто мистика! И всего в подгруппе порожденной двумя поворотами получается что ли 3 элемента ${e, a, b}$? Или здесь тоже ошибка?

[AV_77]

gogoshik в сообщении #1197492 писал(а):

Или здесь тоже ошибка?

А сами как думаете? Ведь у вас получается, что $ab = a$ и $ba = b$. Может такое быть?

[gogoshik]

Не может! Как я должен обращаться с произведением, ведь тут указали на правило их вычисления с упорядочивание пераой строки:
$a\cdot b = \binom{1 2 3 4}{4 3 2 1}, b\cdot a = \binom{1 2 3 4}{3 4 1 2}$.
Я же правильно все упорядочил?