Сходимость по мере.

[m1greatcool]

Нужно установить сходимость по мере функции $e^{-(x-n)^2}$
Где мера Лебега-Стилтьеса

$$g(x) = \begin{cases} x^3,&\text{ $x>0$;}\\ (x)^{1/3}-1,&\text{$x\leqslant0$.} \end{cases} $$

e^{-(x-n)^2}, n\to\inf Ни к чему не стремится. Бежит себе волна. И вот чего-то я не понимаю, что делать-то? Подтолкните немного.

[DeBill]

m1greatcool в сообщении #1196653 писал(а):

Ни к чему не стремится.

Как это не стремится? Очень даже стремится - поточечно...

m1greatcool в сообщении #1196653 писал(а):

Подтолкните немного.

Подталкиваю: делайте в точности по определению. и все получится...

(Оффтоп)

Точнее, при $n\to -\infty$ - получится. А вот .....

[m1greatcool]

Предельная функция $f \equiv 0$. Следовательно нужно мерить множества удовлетворяющие |$ e^{-(x-n)^2}| > \varepsilon$ для любого $\varepsilon$ и для любого $x$.
Разрешая неравенство относительно $x$ получим
$x < n + (-\ln(\varepsilon))^{1/2}$
$x > n - (-\ln(\varepsilon))^{1/2}$
Посчитаем меру Лебега-Стилтьеса отрезка $(n - (-\ln(\varepsilon))^{1/2},n + (-\ln(\varepsilon))^{1/2})$
$g(n + (-\ln(\varepsilon))^{1/2}) - g(n - (-\ln(\varepsilon))^{1/2}) = $
$ = (n + (-\ln(\varepsilon))^{1/2})^3 - (n - (-\ln(\varepsilon))^{1/2})^3, n\to \infty
Предел бесконечность, значит не сходится по мере. Но это неверно, так как функция сходится поточечно к 0, не могу понять где ошибка.

[Lia]

m1greatcool
Ну а как иначе, если определение меры Лебега-Стилтьеса Вы так и не вспомнили и к делу не пришили?

И формулы оформите: доллар в начале формулы, доллар в конце, в середине никаких долларов быть не должно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

m1greatcool в сообщении #1197332 писал(а):

Предел бесконечность, значит не сходится по мере. Но это неверно, так как функция сходится поточечно к 0, не могу понять где ошибка.

Объясните подробнее, как вы догадались, что ваш вывод ошибочен? С какой фундаментальной теоремой вы вступили в противоречие?

[m1greatcool]

Я интуитивно понимал, что из поточечной следует по Мере, но потом наткнулся на Теорему Риса и как раз у меня мера-то не ограничена.
Мои рассуждения правильные, я понял это. Но чтобы доказать, что последовательность не сходится ни к какой функции, нужно видимо строить что-то такое отличающееся от 0 почти везде, но у меня нет опыта, так что не могу придумать как.

[demolishka]

m1greatcool, какая-то каша у Вас. Вы понимаете почему предел по мере, если он есть, обязан быть нулем (почти везде)?

[m1greatcool]

Да понимаю, чтобы функции не "отличались" почти везде.