Интеграл (Разбоки по поводу int 1/x = ln|x| + C )

[TOTAL]

ewert писал(а):

И если человек не понимает, что там можно ставить иксы с разными знаками -- это не есть хорошо, но и не смертельно.

В $\ln(x)$ можно ставить иксы разных знаков?

[ewert]

Brukvalub писал(а):

А ему сначала дают неверный ответ, содержащий ту же ошибку,

Ну и что там неверно? это -- именно первообразная. А что не единственная -- так то ловля блох. Об чём и пафос.

Добавлено спустя 3 минуты 23 секунды:

TOTAL писал(а):

ewert писал(а):

И если человек не понимает, что там можно ставить иксы с разными знаками -- это не есть хорошо, но и не смертельно.

В $\ln(x)$ можно ставить иксы разных знаков?

хуже того -- даже нужно. В зависимости от знака самого икса. В зависимости от ситуации.

Ребяты, я всё понимаю, вы тут все шибко грамотныя, и исключительно аксиоматичны, но и здравый смысл должен жеж присутствовать.

[TOTAL]

ewert писал(а):

TOTAL писал(а):

ewert писал(а):

И если человек не понимает, что там можно ставить иксы с разными знаками -- это не есть хорошо, но и не смертельно.

В $\ln(x)$ можно ставить иксы разных знаков?

хуже того -- даже нужно. В зависимости от знака самого икса. В зависимости от ситуации.

Функция $\ln|x|$ учитывает ситуацию.
Функция $\ln x$ не учитывает ситуацию и является неверным ответом.
Что-нибудь ещё придумаете? Собственно к Вам просьба небольшая - не морочте голову школьникам.

[ewert]

школьникам морочить даже и не пытался, а вот ихний начальник -- искренне удивляет.

[Brukvalub]

TOTAL писал(а):

Собственно к Вам просьба небольшая - не морочте голову школьникам.

Пламенно присоединяюсь к просьбе, смиренно склоняя голову перед Вашим, ewert, умением вкручиваться из неудобных для Вас ситуаций.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Пламенно присоединяюсь к просьбе, смиренно склоняя голову перед Вашим, ewert, умением вкручиваться из неудобных для Вас ситуаций.

Ув. Brukvalub, у Вас какая-то феноменальная способность -- говорить не в тему. На всякий случай напоминаю: мой пост тут далеко не первый. Собственно, с самого начала всё было ясно -- и в чём задача, и в чём ошибка, и в чём преподаватель дурак. Так нет же, развели тут какую-то дыскуссыю. Ко мне-то какие претензии?

[Профессор Снэйп]

И всё-таки, что такое эта самая первообразная?

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$, если

1) $F'(x) = f(x)$ во всех точках, в которых определена функция $f$;

2) $F'(x) = f(x)$ во всех внутренних точках множества, на котором определена функция $f$;

3) $F'(x) = f(x)$ почти во всех точках множества, на котором определена функция $f$ (то есть множество точек определённости $f$, для которых равенство не выполняется, имеет меру $0$);

4) ничего из вышеперечисленного.

Какой вариант здесь наиболее правильный?

[ИвановЭГ]

Brukvalub писал(а):

Что за манеры последнее ремя на форуме начали процветать? Сначала некто ошибается, а потом с упорством, достойным лучшего применения, старается "отмазать" свою ошибку, но ни в коем случае её не признать. Это я про Вас, ИвановЭГ сейчас говорю. И, ладно бы, мы во дворе за пивом спорили, но ведь людей при этом учим!

ИвановЭГ писал(а):

если вы не видите, то там неопределенный интеграл!!

Выучите таблицу неопределенных интегралов (см. http://ilya.super.nov.ru/VariousPages/Integral/integral.htm ), или хотя бы п.2 из нее, а уж потом спорьте!

ну и что там в таблице?!!и что не понравуилось?!!не понятно!!!

[Профессор Снэйп]

И вот ещё по ходу вопрос. Как правильно писать:

$$ \int \frac{1}{x^2} = -\frac{1}{x} + C $$

или

$$ \int \frac{1}{x^2} = \begin{cases} -\frac{1}{x} + C_1; & x \in (0,+\infty); \\ -\frac{1}{x} + C_2; & x \in (-\infty,0) \end{cases} $$

[Brukvalub]

Функция F, заданная на некотором невырожденном промежутке D, называется точной первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого

\[ x \in D\quad \exists F'(x) = f(x) \]

Есть общепринятая договоренность выписывать првообразную на как можно большем подмножестве области определения исходной функции. Именно поэтому во всех таблицах первообразных написано:

\[ \int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\;,\;x \ne 0 \]

Более того, какой-то деятель написал в Википедии об всей области определения: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%8F
с чем можно и не соглашаться.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

И вот ещё по ходу вопрос. Как правильно писать:

$$ \int \frac{1}{x^2} = -\frac{1}{x} + C $$

или

$$ \int \frac{1}{x^2} = \begin{cases} -\frac{1}{x} + C_1; & x \in (0,+\infty); \\ -\frac{1}{x} + C_2; & x \in (-\infty,0) \end{cases} $$

оби можны, ибо эквивалентны

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

оби можны, ибо эквивалентны

Да ну? С хера это они эквивалентны? Первая запись задаёт более узкий класс функций по сравнению со второй.

[Brukvalub]

Подчеркну, что точную первообразную удобно и принято рассматривать на связном множестве, иначе теряется ф-ла Ньютона-Лейбница, и т.д., поэтому правильной является вторая запись.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

ewert писал(а):

оби можны, ибо эквивалентны

Да ну? С хера это они эквивалентны? Первая запись задаёт более узкий класс функций по сравнению со второй.

Да, формально Вы правы -- вторая запись более грамотна. Да только кого это практически интересует? Всем ежам и так понятно, что решения, разделённые точкой разрыва, меж собой не связаны.

[Профессор Снэйп]

Ещё вопрос по терминологии: можно ли говорить, что функция $F(x) = |x|$ является первообразной функции

$$ \mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} -1, &x<0; \\ 0, &x=0; \\ 1, &x>0. \end{cases} $$