Нахождение потока векторного поля пирамиды

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196515 писал(а):

Саму в себя проецируем.

И действительно получаем два одинаковых интеграла, только один из них положительный, а другой - отрицательный?

EUgeneUS в сообщении #1196515 писал(а):

Начертите прямоугольную область не на бумаге, а на $ABC$, спроецируйте её на $AOC$ и насколько она ужмется?

Именно так я и делал. На треть.

EUgeneUS в сообщении #1196515 писал(а):

ЗЫ. После того как разберетесь с этой задачкой. Вот такой вопрос на понимание.

Ещё не разобрался :)

Получается, что телодвижения с преобразованием $d\sigma$ в $dxdy$ были лишними? Фактически, можно написать, что проекция $\sigma$ на $AOC$ будет равна самой себе и по сути мы получим такой же интеграл, как в AOC, только положительный?

(Оффтоп)

Мне самому не в радость, что я эту тему осилить никак не могу :(

[EUgeneUS]

XpucToc в сообщении #1196534 писал(а):

Получается, что телодвижения с преобразованием $d\sigma$ в $dxdy$ были лишними?

может быть и лишними, но так проще визуализировать и понимать. И опять же нас интересуют $dxdz$, дэ-зет.

1. $dxdz$ - это площадь элементарной площадке на плоскости $Oxz$ (и параллельных ей)
2. Со стороной $АОС$ нам повезло, она вся лежит в плоскости $Oxz$, именно поэтому $d\sigma = dxdz$.
3. А если элементарная площадка у нас не параллельна $Oxz$, как произошло со стороной $ABC$?
4. Тогда $dxdz$ - это не площадь элементарной площадки, а площадь её проекции на $Oxz$.
5. Но как найти именно площадь элементарной площадки? (надо умножить на такую штуку с корнем. Вы это делали уже один раз, но почему-то отказываетесь применять результат дальше). Вот она и покажет, на сколько "ужимается" проекция элементарной площадки, соответственно на сколько $d\sigma$ больше, чем $dxdz$.
6. И да, не забывайте, что две третьих в интеграле по $ABC$ у Вас получилось не из-за этих манипуляций с элементарной площадкой, а от скалярного произведения.

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196552 писал(а):

1. $dxdz$ - это площадь элементарной площадке на плоскости $Oxz$ (и параллельных ей)
2. Со стороной $АОС$ нам повезло, она вся лежит в плоскости $Oxz$, именно поэтому $d\sigma = dxdz$.
3. А если элементарная площадка у нас не параллельна $Oxz$, как произошло со стороной $ABC$?
4. Тогда $dxdz$ - это не площадь элементарной площадки, а площадь её проекции на $Oxz$.

Эти пункты я понял и осознал.

В штуке с корнем получилось $\frac{3}{2}$. Получается, в полтора раза?

Я понял речь о площадках, но не совсем понял, как это связано с потоком.

Сейчас возникла мысль... $\frac{3}{2}$ взаимоуничтожается с $\frac{2}{3}$ во втором интеграле, в результате чего получается тот же самый интеграл, только вместо $d\sigma$ интегрирование идёт по $dxdz$. Так как оба они подразумевают одну и ту же область, получается, что в сумме они дадут ноль?

[EUgeneUS]

XpucToc в сообщении #1196562 писал(а):

Я понял речь о площадках, но не совсем понял, как это связано с потоком.

Поток же через поверхность, а она состоит из маленьких площадок.

XpucToc в сообщении #1196562 писал(а):

Сейчас возникла мысль... $\frac{3}{2}$ взаимоуничтожается с $\frac{2}{3}$ во втором интеграле, в результате чего получается тот же самый интеграл,

Ура! Наши ломят, гнутся шведы.

XpucToc в сообщении #1196562 писал(а):

в результате чего получается тот же самый интеграл, только вместо $d\sigma$ интегрирование идёт по $dxdz$.

Делаем четкую разницу. $d\sigma$ - это интеграл по поверхности. $dxdz$ - это кратный интеграл по координатам. И это разные вещи. Хоть и сводится одно к другому.

Поэтому
1. "Первый интеграл" по поверхности нужно тоже преобразовать в кратный по координатам. Ну, там все просто (с подынтегральным выражением), вроде бы разобрали.
2. Переходя к кратным интегралам по координатам, область интегрирования нужно также выразить через те же координаты, $x$ и $z$ в данном случае.
И вот тогда получится более-менее строгое решение, которое Вы сможете сдать и приступить к факультативному вопросу.

[XpucToc]

EUgeneUS в сообщении #1196606 писал(а):

Ура! Наши ломят, гнутся шведы.

Но я ведь писал это ещё тут :(

EUgeneUS в сообщении #1196606 писал(а):

1. "Первый интеграл" по поверхности нужно тоже преобразовать в кратный по координатам. Ну, там все просто (с подынтегральным выражением), вроде бы разобрали.

Преобразовать, как второй? То есть $d\sigma=\frac{1}{\cos\gamma }dS_{XZ}=\sqrt{1+ \left ({z_{x}}' \right )^{2} + \left ({z_{z}}' \right )^{2}}dS_{XZ}$? А откуда тогда брать ${z_{x}}'$ и ${z_{z}}'$? Составить уравнение плоскости самому?

В обоих интегралах, судя по графику: $\left\{\begin{matrix} 0<z<\frac{1}{2}x+2 \\ -4<x<0 \end{matrix}\right.$

Значит, оба интеграла будут выглядеть так: $\int_{-4}^{0}dx\int_{0}^{\frac{1}{2}x+2}f(x,z)dz$?

Кстати, Вы очень терпеливый человек :)

(Оффтоп)

Мне сегодня ночью эта задача снилась (серьёзно). Помню, что неожиданно всё понял и нашёл решение, но поутру всё совершенно забыл

[EUgeneUS]

XpucToc в сообщении #1196696 писал(а):

Кстати, Вы очень терпеливый человек :)

(Оффтоп)

За "терпение" уже получил серьезное предупреждение от администрации. Поэтому если остались какие-то вопросы по этой теме - можете написать в личку. Но только по этой.