Получается, что телодвижения с преобразованием

в

были лишними?
может быть и лишними, но так проще визуализировать и понимать. И опять же нас интересуют

,
дэ-зет.
1.

- это площадь элементарной площадке на плоскости

(и параллельных ей)
2. Со стороной

нам повезло, она вся лежит в плоскости

, именно поэтому

.
3. А если элементарная площадка у нас не параллельна

, как произошло со стороной

?
4. Тогда

- это не площадь элементарной площадки, а площадь её проекции на

.
5. Но как найти именно площадь элементарной площадки? (надо умножить на такую штуку с корнем. Вы это делали уже один раз, но почему-то отказываетесь применять результат дальше). Вот она и покажет, на сколько "ужимается" проекция элементарной площадки, соответственно на сколько

больше, чем

.
6. И да, не забывайте, что две третьих в интеграле по

у Вас получилось не из-за этих манипуляций с элементарной площадкой, а от скалярного произведения.