Задача теории групп

[WalkRigh]

Дана группа $G$
1) $a^{2} = e $
2) $a^{-1} b^2 a=b^3$
Нужно доказать, что $b^5= e$
Здесь, я понял, что по Лагранжу порядок группы четный. А так же из первого условия, что $a^{-1} = a $, значит $a b^2 a=b^3$. А как правильно использовать второе условие, непонятно...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Заключайте каждую формулу целиком в знаки долларов. Не разбивая на части.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

WalkRigh в сообщении #1196353 писал(а):

по Лагранжу порядок группы четный.

Ну... если вообще конечный... что ниоткуда не следует!
Трудно подсказать в такой задаче, не дав практически "полное решение" ) Ну, попробуйте получить следствия из второго равенства. Просто всякие-разные!

[Munin]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1196396 писал(а):

Ну... если вообще конечный...

А что, если бесконечный - то нечётный?

[vpb]

Тут Лагранж не совсем в кассу. Обратите внимание, что тривиальная группа и $a=b=e$ тоже удовлетворяют условиям.

[Slav-27]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1196402 писал(а):

А что, если бесконечный - то нечётный?

Если бесконечный -- то не чётный.

[WalkRigh]

provincialka
Применил теорему о порядках. $O(b^2)=O(ab^2a)=O(b^3)$ значит $b^2=b^3$. И значит $b$ нейтральный элемент. Но совсем нет уверенности, что это верно.

[Sonic86]

WalkRigh в сообщении #1196449 писал(а):

$O(b^2)=O(b^3)$ значит $b^2=b^3$.

Этот переход явно неверен. Сравните с $O(b^1)=O(b^{-1})$ значит $b^1=b^{-1}$.

WalkRigh в сообщении #1196353 писал(а):

2) $a^{-1} b^2 a=b^3$

Попытайтесь с этим равенством сделать что-нибудь такое, чтобы в результате появился $b^5$. Ведь нам же нужно утверждение о $b^5$ доказать, верно?

[ИСН]

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1196442 писал(а):

Munin в сообщении #1196402 писал(а):

А что, если бесконечный - то нечётный?

Если бесконечный -- то не чётный.

Чётная и нечётная бесконечности. А нельзя ли этому придать строгий смысл? Ну, там, наличие/отсутствие конечных подгрупп и фактор-групп чётного порядка. Ясно же, что должна быть какая-то разница между $\mathbb Z_2^\infty$ и $\mathbb Z_3^\infty$, нет?

-- менее минуты назад --

WalkRigh в сообщении #1196353 писал(а):

$a^{-1} b^2 a=b^3$

Возведите обе стороны в квадрат. Упростите. Запомните, что получилось. Вернитесь к началу. Возведите обе стороны в куб...

[WalkRigh]

ИСН
Такое получается видеть с опытом. Спасибо большое. Возьму на заметку.