Обычное и автомодельное решение УрЧП

[Nuflyn]

Вот уравнение в частных производных первого порядка $ \frac{\partial f}{\partial t} - -\frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $. Оно элементарно и метод разделения переменных дает $ f=f_0 \cdot \exp(\alpha\cdot (R + \int\limits_{}^{} K(t)dt)) $. Однако, если мы ищем решение в автомодельном виде, именно $ f=\frac{1}{R_f} \cdot F(\xi) $ где $ R_f=\int\limits_{}^{} K(t)dt $, $ \xi=\frac{R}{R_f}$ то подстановка этого решения в уравнение даст $ F=\frac{1}{(1 + \xi)} $ т.е. $ f = \frac{1}{R + R_f}$ (на константы интегрирования я забил). Очевидно, что данное решение нельзя получить с помощью разделения переменных. Т.е. как бы есть два решения - стандартное и автомодельное и как они друг с другом соотносятся я не понимаю.Понятно, что этот парадокс кажущийся и я чего-то не понимаю.

[пианист]

Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):

парадокс кажущийся

Так а что кажется-то? У диффура может быть много решений (а если с частными производными, функционально много), почему им как-то надо "соотноситься".

Выкладки не проверял (у Вас какие-то нестандартные обозначения, как надо читать $ \frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $, я не знаю).

[Nuflyn]

K(t) - это просто произвольная функция от переменной t

[Someone]

Nuflyn в сообщении #1196306 писал(а):

K(t) - это просто произвольная функция от переменной t

Пусть так, но всё равно непонятно,

пианист в сообщении #1196289 писал(а):

как надо читать $ \frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $

То ли это $K(t)\cdot\frac{\partial f}{\partial R}$, то ли ещё что…

$\frac{\partial f}{\partial R}$ — это обозначение частной производной функции $f$ по переменной $R$, а вовсе не дробь, и не надо пихать туда посторонние символы.

[VanD]

Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):

Вот уравнение в частных производных первого порядка $ \frac{\partial f}{\partial t} - -\frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $

что-то у Вас пошло не так, уравнения не видать.

Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):

Однако, если мы ищем решение в автомодельном виде, именно $ f=\frac{1}{R_f} \cdot F(\xi) $ где $ R_f=\int\limits_{}^{} K(t)dt $, $ \xi=\frac{R}{R_f}$

Это не очень-то автомодельный вид, $\xi$ должна бы иметь вид произведения степеней (для меня автомодельное решение -- это которое инвариантно относительно смены системы единиц измерения в классе).

[Red_Herring]

VanD в сообщении #1196339 писал(а):

Это не очень-то автомодельный вид, $\xi$ должна бы иметь вид произведения степеней

Ну, и перед $F$ обычно степень.


Nuflyn
И разделение переменных, и поиски автомодельного решения (и много ещё чего, например поиск решения-бегущей волны) дают лишь частные решения (из которых, если повезет, можно получить и общее). Просто разные подходы дают (опять таки, если повезет) разные частные решения