2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 16:32 
Вот уравнение в частных производных первого порядка $ \frac{\partial f}{\partial t} -  -\frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $. Оно элементарно и метод разделения переменных дает $ f=f_0 \cdot \exp(\alpha\cdot (R + \int\limits_{}^{} K(t)dt)) $. Однако, если мы ищем решение в автомодельном виде, именно $ f=\frac{1}{R_f} \cdot F(\xi)  $ где $ R_f=\int\limits_{}^{} K(t)dt $, $ \xi=\frac{R}{R_f}$ то подстановка этого решения в уравнение даст $ F=\frac{1}{(1 + \xi)} $ т.е. $  f = \frac{1}{R + R_f}$ (на константы интегрирования я забил). Очевидно, что данное решение нельзя получить с помощью разделения переменных. Т.е. как бы есть два решения - стандартное и автомодельное и как они друг с другом соотносятся я не понимаю.Понятно, что этот парадокс кажущийся и я чего-то не понимаю.

 
 
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 17:52 
Аватара пользователя
Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):
парадокс кажущийся

Так а что кажется-то? У диффура может быть много решений (а если с частными производными, функционально много), почему им как-то надо "соотноситься".

Выкладки не проверял (у Вас какие-то нестандартные обозначения, как надо читать $ \frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $, я не знаю).

 
 
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 19:08 
K(t) - это просто произвольная функция от переменной t

 
 
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 21:29 
Аватара пользователя
Nuflyn в сообщении #1196306 писал(а):
K(t) - это просто произвольная функция от переменной t
Пусть так, но всё равно непонятно,
пианист в сообщении #1196289 писал(а):
как надо читать $ \frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $
То ли это $K(t)\cdot\frac{\partial f}{\partial R}$, то ли ещё что…

$\frac{\partial f}{\partial R}$ — это обозначение частной производной функции $f$ по переменной $R$, а вовсе не дробь, и не надо пихать туда посторонние символы.

 
 
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 21:37 
Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):
Вот уравнение в частных производных первого порядка $ \frac{\partial f}{\partial t} -  -\frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $

что-то у Вас пошло не так, уравнения не видать.
Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):
Однако, если мы ищем решение в автомодельном виде, именно $ f=\frac{1}{R_f} \cdot F(\xi)  $ где $ R_f=\int\limits_{}^{} K(t)dt $, $ \xi=\frac{R}{R_f}$

Это не очень-то автомодельный вид, $\xi$ должна бы иметь вид произведения степеней (для меня автомодельное решение -- это которое инвариантно относительно смены системы единиц измерения в классе).

 
 
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 22:49 
Аватара пользователя
VanD в сообщении #1196339 писал(а):
Это не очень-то автомодельный вид, $\xi$ должна бы иметь вид произведения степеней

Ну, и перед $F$ обычно степень.


Nuflyn
И разделение переменных, и поиски автомодельного решения (и много ещё чего, например поиск решения-бегущей волны) дают лишь частные решения (из которых, если повезет, можно получить и общее). Просто разные подходы дают (опять таки, если повезет) разные частные решения

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group