Электростатика. Две полусферы

[fred1996]

Имеется два непроводящие равномерно заряженные полусферы с радиусами $R$ и $r$ и зарядами $Q$ и $q$ соответственно. Центр общий. Все как на рисунке.
Найти силу взаимодействия между ними.

[AnatolyBa]

У меня получается - от меньшего радиуса не зависит. Дальше понятно

[dovlato]

Понятия не имею. Неужели решается..

[12d3]

(решение)

Если мы добавим к внешней полусфере вторую половинку, дополнив до сферы, то сила притяжения между внешней сферой и внутренней полусферой будет равно 0, т.к. поле внутри сферы 0. Значит, половинки внешней сферы притягиваются к внутренней полусфере с одинаковой по модулю силой. А если мы вместо этого ко внутренней полусфере добавим половинку, то получится притяжение внешней полусферы ко внутренней сфере. С одной стороны, оно легко интегрируется, получим $-\frac{kQ\cdot 2q}{2R^2}$, с другой, оно равно удвоенной силе притяжения между полусферами из условия. Итого, ответ: отталкиваются с силой $\frac{kQq}{2R^2}$

[dovlato]

Спасибо. Очень красиво.
Видимо, так же можно решать, если внешняя сфера имеет поверхностную плотность по-прежнему
с аксиальной симметрией, если $\sigma(\theta)+\sigma(\pi-\theta)=\sigma_0$.
Да и внутренняя, похоже, тоже..так?

[wrest]

(Для 12d3)

12d3 в сообщении #1196261 писал(а):

Если мы добавим к внешней полусфере вторую половинку, дополнив до сферы, то сила притяжения между внешней сферой и внутренней полусферой будет равно 0, т.к. поле внутри сферы 0. Значит, половинки внешней сферы притягиваются к внутренней полусфере с одинаковой по модулю силой.

Допустим в условии задачи бОльшая будет не полусфера а треть сферы, как изменится ваше рассуждение? "Дополним треть бОльшей сферы до сферы, внутри полной сферы ноль, значит треть сферы и две трети притягивают с одинаковой по модулю силой..."

[12d3]

(wrest)

wrest в сообщении #1196278 писал(а):

Допустим в условии задачи бОльшая будет не полусфера а треть сферы, как изменится ваше рассуждение?

С третью подобное рассуждение не прокатит совсем, придется ручками страшные интегралы считать. Ваше утверждение будет верным, вот только оно ничего не дает.