К восстановлению алгебры Ли по схеме Дынкина

[Metford]

Обнаружил у себя провал в знании, как восстанавливать алгебру Ли по схеме Дынкина. Возьму для примера алгебру $A_2$: у неё и генераторов не слишком много, но при этом и не слишком всё просто.
Начало понятно: два простых корневых вектора одинаковой длины, образующих угол $120^{\circ}$. Строю матрицу Картана, цепочки корней - убеждаюсь, что всего будет 8 корневых векторов. Это и так хорошо известно, но хотелось всю процедуру пройти. Дальше нужны конкретные выражения для этих векторов. Ну, пусть будут такие:

$$\alpha=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\beta=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\gamma=\alpha+\beta=(1,0).$$

Плюс три с противоположным знаком.
По идее, дальше можно уже строить коммутаторы. Допустим, с коммутаторами вида $[H_i,E_k]$, где $H_i$ - генератор из подалгебры Картана, вроде бы всё ясно:

$$[H_i,E_{\alpha}]=r_{\alpha}E_{\alpha}.$$

Например,

$$[H_2,E_{\beta}]=-\frac{\sqrt{3}}{2}E_{\beta}.$$

Проблема возникает с генераторами типа $[E_{\alpha},E_{-\alpha}]$. Они должны выражаться через линейную комбинацию $H_1$, $H_2$, но каковы коэффициенты в этой комбинации?
И второй вопрос. $[E_{\alpha},E_{\beta}]=N_{\alpha\beta}E_{\alpha+\beta}$, где $N_{\alpha\beta}^2=\frac{1}{2}(\alpha,\alpha)q(1-p)$, $p,q$ - наименьшее и наибольшее число $n$ в цепочке $\beta+n\alpha$. Как определить знак, с которым войдёт $N_{\alpha\beta}$ в коммутатор?

[vpb]

Строго говоря, на этот вопрос пока не ответишь, поскольку порождающие в корневых подпространствах определены лишь с точностью до пропорциональности, а в картановской подалгебре Вы вообще кординаты выбрали неправильно (в таких координатах структурные константы получатся нехорошие, с дробями и корнями). Могу Вам предложить или книжку почитать (наиболее годной является книга Хамфри (что также пишут как Хамфрис)), или я могу написать Вам серию задач, чтобы Вы освоили предмет (т.е. простейшие сведения об алгебрах Ли, включая теорему классификации комплексных полупростых алгебр Ли) в задачах (в духе книжки "Теорема Абеля в задачах и решениях").
Тут может быть правда проблема, из-за того, что у меня Интернет плохо работает.

Вообще, дело-то обычное: думаешь, что что-то знаешь, а как доходит до конкретного, оказывается, что подзабыл. Ну, значит, надо у себя в голове все вновь укладывать, реанимировать, вспоминать, как да что ... Я данный предмет когда-то изучал, но потом мне приходилось его в голове восстанавливать аж два раза.

[Metford]

vpb в сообщении #1195258 писал(а):

Вообще, дело-то обычное: думаешь, что что-то знаешь, а как доходит до конкретного, оказывается, что подзабыл. Ну, значит, надо у себя в голове все вновь укладывать, реанимировать, вспоминать, как да что ...

Вот-вот...

vpb в сообщении #1195258 писал(а):

в картановской подалгебре Вы вообще кординаты выбрали неправильно (в таких координатах структурные константы получатся нехорошие, с дробями и корнями).

А разве это именно неправильно - не просто некрасиво? Пусть будут с корнями - для начала. Потом ведь генераторы можно переопределить. Хотя, конечно, хотелось бы понять, как их сразу выбрать наиболее удобно.

Кстати, с позавчерашнего дня я дошёл до мысли, что главное - это относительный знак всех констант $N_{\alpha\beta}$. А он определяется с помощью тождества Якоби.

vpb в сообщении #1195258 писал(а):

или я могу написать Вам серию задач, чтобы Вы освоили предмет (т.е. простейшие сведения об алгебрах Ли, включая теорему классификации комплексных полупростых алгебр Ли) в задачах (в духе книжки "Теорема Абеля в задачах и решениях").

Ну, о таком можно только мечтать... Был бы очень признателен! Книга Хамфри мне как-то не приглянулась (мне она была известна).

[vpb]

Metford,
рад, что Вы имеете энтузиазм насчет задач. Охотно их напишу.

Сначала насчет Ваших вопросов. Про Хамфри. Нет такого понятия, как наилучшая книга по данному предмету вообще. Всё зависит от конкретной ситуации. Даже очень хорошая книга способному человеку в определенной ситуации может "не пойти", я знаю это по себе. Но в целом, данная книга несколько десятков лет считалась наилучшей в своем сегменте (как сейчас, не знаю). И я так же думаю. И вообще Хамфри блестящий педагог, написал не только эту книгу.

Про базис в картановской подалгебре. Нет, конечно, формально говоря, в нетрадиционном выборе базиса ошибки нет. Этот вопрос разъяснится позже.

Перейдем к задачам. Классификация комплексных полупростых алгебр Ли делится, грубо говоря, на три части: (1) "общетеоретическая" часть, (2) классификация систем корней, (3) вычисление структурных констант. Разумно начать с начала.

Вот собственно список (начало его, точнее). Оформлять решения в письменном виде, в общем, не надо, это долго. Разве только если у Вас или у меня возникнут конкретные сомнения, правильно ли Вы предмет понимаете. Наверное, из начальных сведений Вы и так уже много знаете.


1) Дать определение алгебры Ли.

2) Дать определение подалгебры и идеала в алгебре Ли.

3) Пусть $L$ --- алгебра Ли. Для подпространств $A,B\subseteq L$ пусть $A+B$ --- множество всех элементов вида $x+y$, а $[A,B]$ --- линейная оболочка всех элементов вида $[x,y]$, где $x\in A$, $y\in B$. Пусть $A,B\leq L$ --- подалгебры, а
$I,J\trianglelefteq L$ --- идеалы. Доказать следующее:
(а) $A\cap B$ --- подалгебра;
(б) $I+J$ и $[I,J]$ --- идеалы;
(в) $A+I$ --- подалгебра;
(г) $A\cap I$ --- идеал в $A$.

Вообще, употребляем знак $<$ ($\leq$) для подалгебр, $\trianglelefteq$ для идеалов, $\subseteq$ для подпространств.
И, дальше я позволил себе выражаться часто кратко, опуская слова.

4) Дать определение гомоморфизма алгебр Ли. Показать, что ядро гомоморфизма --- идеал, а образ --- подалгебра.

5) Пусть $\varphi:L_1\longrightarrow L_2$ --- гомоморфизм алгебр Ли.
(а) Если $A,B\subseteq L_1$ --- два подпространства, то $\varphi(A+B)=\varphi(A)+\varphi(B)$ и $\varphi([A,B])=[\varphi(A),\varphi(B)]$;
(б) Если $A_1\leq L_1$, то $\varphi(A_1)\leq L_2$;
(в) если $A_2\leq L_2$, то полный прообраз $\varphi^{-1}(A_2)$ --- подалгебра в $L_1$;
(г) если $A_2\trianglelefteq L_2$, то $\varphi^{-1}(A_2)\trianglelefteq L_1$;
(д) если $\varphi$ сюръективно и $A_1\trianglelefteq L_1$, то $\varphi(A_1)\trianglelefteq L_2$.

6) Единственная, с точностью до изоморфизма одномерная алгебра Ли --- это алгебра с нулевым умножением. Двумерных же,
с точностью до изоморфизма, есть ровно две, над любым полем. Доказать это, и предъявить таблицу умножения.

Продолжение следует.

[vpb]

Продолжим. Есть такое общеалгебраическое понятие: "индуцированное отображение". И еще "определение операции/структуры через представителя". Познакомимся с ними очень кратко. Дальше предполагается, что Вы знаете элементарные понятия теории групп: группа, подгруппа, смежный класс, нормальная подгруппа, факторгруппа, гомоморфизм, ядро, образ. Если нет --- см. ван дер Варден, гл.1,2. Или соответствующие места в Кострикине или Винберге.

Если $G$ --- группа, $H\leq G$ --- ее подгруппа, не обязательно нормальная, то через $G/H$ будем обозначать множество всех левых (т.е. вида $aH$) смежных классов $G$ по $H$. Аналогично алгебрам Ли, пишут $H\leq G$, если $H$ --- подгруппа в $G$, $H\trianglelefteq G$ --- если нормальная, $H\subseteq G$ --- если просто подмножество.

7) Пусть $G_1$, $G_2$ --- две группы, $H_1\leq G_1$, $H_2\leq G_2$ --- некоторые их подгруппы (не обязательно нормальные), и $\varphi:G_1\longrightarrow G_2$ --- гомоморфизм такой, что $\varphi(H_1)\leq H_2$.

(а) Показать, что образ любого смежного класса $aH_1$ лежит в смежном классе $\varphi(a)H_2$. Таким образом, образ любого смежного класса из $G_1/H_1$ целиком лежит в некотором смежном классе из $G_2/H_2$, и получается отображение из $G_1/H_1$ в $G_2/H_2$, которое мы обозначаем через $\overline\varphi$ и называем отображением, индуцированным отображением $\varphi$. (Заметим, что если $H$ не нормальна в $G$, то $G/H$ --- всего лишь множество, а не группа. Таким образом, $\overline\varphi$ --- отображение множеств).

(б) Пусть $H_1\leq G_1$, $H_2\leq G_2$, $H_3\leq G_3$ ; $\varphi_1:G_1\longrightarrow G_2$, $\varphi_2:G_2\longrightarrow G_3$ --- гомоморфизмы такие, что $\varphi_1(H_1)\leq H_2$ и $\varphi_2(H_2)\leq H_3$. Таким образом, определены индуцированные отображения $\overline\varphi_1:G_1/H_1\longrightarrow G_2/H_2$ и $\overline\varphi_2:G_2/H_2\longrightarrow G_3/H_3$. Кроме того, $\varphi=\varphi_2\varphi_1$ --- гомоморфизм из $G_1$ в $G_3$, причем $\varphi(H_1)\leq H_3$. Доказать, что $\overline\varphi=\overline\varphi_2\overline\varphi_1$ (как отображения множеств).

(в) Доказать, что если $H_1\trianglelefteq G_1$, $H_2\trianglelefteq G_2$ --- нормальные подгруппы, и $\varphi:G_1\longrightarrow G_2$ таков, что $\varphi(H_1)\leq H_2$, то $\overline\varphi:G_1/H_1\longrightarrow G_2/H_2$ --- гомоморфизм групп.

(г) Пусть $\varphi:V_1\longrightarrow V_2$ --- линейное отображение векторных пространств, $U_1\subseteq V_1$ и $U_2\subseteq V_2$ --- подпространства, причем $\varphi(U_1)\subseteq U_2$. Тогда индуцированное отображение факторгрупп $\overline\varphi:V_1/U_1\longrightarrow V_2/U_2$ является на самом деле линейным отображением.

8) Пусть $L$ --- алгебра Ли, $I\trianglelefteq L$ --- идеал. На факторпространстве $\overline L=L/I$ определить операцию умножения (как? если что, см. указание под тегом оффтопа). Показать, что относительно этого умножения $\overline L$ является алгеброй Ли.

(Оффтоп)

Указание. Для смежных классов $\overline x,\overline y\in\overline L$, где $\overline x=x+I$, $\overline y=y+I$, положить $[\overline x,\overline y]=[x,y]+I$. Доказать, что это определение корректно, т.е. не зависит от того, какие представители $x$, $y$ для данных классов выбираются.
(Не знаю, как сделать, чтобы было написано "указание", а не "оффтоп" . Какой тег или как это называется поставить? )

9) Доказать "первую теорему об изоморфизме" для алгебр Ли: если $\varphi:L\longrightarrow M$ --- гомоморфизм алгебр Ли, $I={\rm Ker}\,\varphi$ --- его ядро, $A={\rm Im}\,\varphi$ --- образ, то $L/I\cong A$.

10) Пусть $L_1$, $L_2$ --- алгебры Ли, $\varphi:L_1\longrightarrow L_2$ --- гомоморфизм, $I_1\trianglelefteq L_1$, $I_2\trianglelefteq L_2$, $\overline L_1=L_1/I_1$, $\overline L_2=L_2/I_2$. Допустим, что $\varphi(I_1)\subseteq I_2$. Тогда индуцированное отображение $\overline\varphi:\overline L_1\longrightarrow \overline L_2$ является гомоморфизмом алгебр Ли.

[Metford]

vpb
Титаническую работу Вы делаете... Скоро займусь Вашими задачами. Только просьба очень строго не судить: я не математик, так что могу иной раз довольно неточно формулировать мысль. Может быть, и это поправлю благодаря Вам.

Да. Чтобы не просто "оффтоп" писалось, нужно после off ставить равно и в кавычках указывать то, что Вам нужно.

[vpb]

Metford
Ну, никакой сверхсообразительности или кристальной ясности мысли, вроде как от Галуа, я от Вас не ожидаю. Я в курсе, что Вы, кажется, теорфизикой занимаетесь, ну а я в ней наоборот не разбираюсь совершенно.

За разъяснение про "оффтоп" спасибо.

Про задачи полезно иметь в виду следующее. Во-первых, каждая задача по модулю предыдущих является сравнительно небольшим шагом мысли, в пределах достижимого. Во вторых, возможно, над некоторыми долго думать надо, не потому, что там нужна "гениальная идея", а просто надо в предмет постепенно мыслями проникать. В этом смысле, эти задачи совершенно противоположны олимпиадным. И еще есть такой феномен, что иногда и до сравнительно несложного хода мысли не додумаешься.

В общем, желаю успеха. vpb.

[vpb]

Будем считать установленным следующее. Пусть $L$ --- простая комплексная конечномерная алгебра Ли. Тогда существует
разложение вида

$$ L=H \oplus \oplus_{\alpha\in\Delta} L_\alpha\,, $$

где
$H$ --- подпространство с нулевым умножением (т.е. $[x,y]=0$ для любых $x,y\in H$);
$\Delta$ --- некоторое подмножество в $H^\ast\setminus\{0\}$, т.е. некоторое семейство ненулевых линейных функций на $H$;
$L_\alpha$ --- "корневое подпространство для $H$, отвечающее корню $\alpha$", т.е.

$$ L_\alpha=\{x\in L\mid [h,x]=\alpha(h)x,\ \ \forall\ h\in H\}\,;$$

Это разложение обладает следующими свойствами:

(a) все $L_\alpha$ одномерны;
(b) $[L_\alpha,L_\beta]=L_{\alpha+\beta}$, если $\alpha+\beta\in\Delta$; $=0$, если $\alpha+\beta\notin\Delta$ и $\ne0$; и является подпространством в $H$, если $\alpha=-\beta$;
(c) $L_\alpha$ и $L_{-\alpha}$ порождают подалгебру типа $A_1$ (т.е. изоморфную $sl(2)$);
(d) $\Delta$ есть некоторая специальная конфигурация ненулевых векторов в $H^\ast$ ("система корней");
в частности, $\Delta$ может иметь такой вид:

$$ \Delta=\{\alpha,\beta,\alpha+\beta,-\alpha,-\beta,-\alpha-\beta\}, $$

где $\alpha$, $\beta$ --- независимые элементы в $H^\ast$, причем ${\rm dim} H=2$ ("система корней типа $A_2$").

Покажем, на примере алгебры типа $A_2$, что умножение определено однозначно. Сначала несколько утверждений, относящихся к общему случаю (не только для типа $A_2$). В нижеследующем, пока не оговорено противное, $\alpha$ и $\beta$ обозначают не конкретные корни для $A_2$, а просто какие-то неопределенные элементы из $\Delta$ (более правильно было бы писать $\mu$, $\nu$ вместо $\alpha$, $\beta$, но это как-то непривычно).

(1) Показать, что для любого $\alpha\in\Delta$ подпространство $[L_\alpha,L_{-\alpha}]\subseteq H$ --- ненулевое, и
содержит элемент $H_\alpha$, однозначно определенный, такой, что $\alpha(H_\alpha)=2$.

(2) Показать, что $H_{-\alpha}=-H_\alpha$.

(3) Показать, что можно выбрать семейство базисных элементов $\{E_\alpha\mid \alpha\in\Delta\}$ в подпространствах $L_\alpha$ так, что $[E_\alpha, E_{-\alpha}]=H_\alpha$ для всех $\alpha\in\Delta$ (семейство $\{E_\alpha\}$ определено не однозначно).

( (1)--(3) выводятся из того, что $\langle L_\alpha, L_{-\alpha}\rangle\cong sl(2)$).

Фиксируем семейство $\{E_\alpha\}$. Пусть $N_{\alpha,\beta}$ --- структурные константы в этом базисе, т.е. $[E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha,\beta}E_{\alpha+\beta}$; $N_{\alpha,\beta}\ne0$, если $\alpha+\beta\in\Delta$.

(4) Показать, что для любых $\alpha,\beta,\gamma\in\Delta$ верно $N_{\alpha,\beta}=-N_{\beta,\alpha}$, и

$$ N_{\alpha,\beta}N_{\alpha+\beta,\gamma}+N_{\beta,\gamma}N_{\beta+\gamma,\alpha}+N_{\gamma,\alpha}N_{\gamma+\alpha,\beta}=0.$$

Пусть $\alpha$ и $\beta$ --- два корня таких, что $\gamma=\alpha+\beta$ --- корень, а $\beta-\alpha$ и $\gamma+\alpha$ ---
не корни. Заметим, что подпространство $V=\langle E_\beta,E_\gamma\rangle$ инвариантно относительно присоединенного
действия подалгебры $A=\langle E_\alpha, E_{-\alpha}, H_\alpha\rangle$, т.е. $[a,v]\in V$ для всех $a\in A$, $v\in V$.
Более точно,

$$ [E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha,\beta}E_\gamma\,, \qquad [E_{-\alpha},E_\gamma]=N_{-\alpha,\gamma}E_\beta, $$

$$ [E_\alpha,E_\gamma]=[E_{-\alpha},E_\beta]=0, $$

$$ [H_\alpha, E_\beta]=\beta(H_\alpha)E_\beta\,, \qquad [H_\alpha, E_\gamma]=\gamma(H_\alpha)E_\gamma\,.$$

Ясно, что должно быть выполено условие

$$ [[a,b],v]=[[a,v],b]+[a,[b,v]] $$

для любых $a,b\in A$, $v\in V$.

(5) Вывести из последнего условия, что $N_{\alpha,\beta}N_{\gamma,-\alpha}=\beta(H_\alpha)$, и $N_{-\alpha,\gamma}N_{\alpha,\beta}=\gamma(H_\alpha)$.

(6) Сравнивая последние два равенства и учитывая, что $\gamma=\alpha+\beta$, показать, что $\beta(H_\alpha)=-1$, $\gamma(H_\alpha)=1$,
и $N_{\alpha,\beta}N_{\gamma,-\alpha}=-1$.


Теперь обратимся конкретно к системе $A_2$. Из предшествующих рассуждений следует, что если $\mu,\nu\in\Delta$ --- любые корни такие, что $\mu+\nu$ --- корень, то $\mu(H_\nu)=-1$. Поэтому мы знаем значение $\mu(H_\nu)$ для любой пары корней $\mu,\nu$.

(7) Показать, что если $\mu$, $\nu$, $\mu+\nu$ --- корни, то $H_{\mu+\nu}=H_\mu+H_\nu$.

Кроме того, если $\mu$, $\nu$, $\mu+\nu$ --- корни, то всегда

$$ N_{\mu,\nu}N_{\mu+\nu,-\mu}=-1. \qquad \qquad (\ast) $$

Теперь мы выберем систему $\{E_\mu\mid\mu\in\Delta\}$ специальным образом. $E_\alpha$ и $E_\beta$ выбираем произвольно;
$E_{\alpha+\beta}$ --- так, чтобы $N_{\alpha,\beta}=1$ (т.е. $E_{\alpha+\beta}=[E_\alpha,E_\beta]$); остальные $E_\zeta$ --- так, чтобы $[E_\zeta,E_{-\zeta}]=H_\zeta$.

(8) Применяя соотношения $(\ast)$ для всевозможных $\mu,\nu$, найти все структурные константы алгебры $L$ в базисе $\{H_\alpha,H_\beta; \ E_\zeta,\ \zeta\in\Delta\}$ (в частности убедиться, что они все --- целые числа в промежутке от $-2$ до $2$).

-- 28.02.2017, 18:19 --

Metford,
я подумал вот что. Вы, возможно,больше заинтересованы в том, чтобы непосредственно уметь считать структурные константы в алгебре, а не в доказательстве классификационной теоремы как таковой. Т.е. в этапе (3) классификации, см. один из первых постов. Это как раз сравнительно несложно. Я написал, как это делается, на примере алгебры $A_2$ (помещаю отдельным постом). При этом те сведения об алгебре, которые должны получаться из этапов (1) и (2), считаются уже установленными. Должен сказать, что, поскольку я обходился самым минимумом общих концепций и орудий, текст получился довольно длинным и не очень прозрачным. Некоторую часть работы я Вам оставил в качестве задач.

Что до задач по общей теории, то я их тоже продолжу писать, через некоторое время. Может, если не Вам, то еще кому
пригодятся. Не знаю правда, доведу ли это дело до конца, предмет то довольно длинный.

-- 28.02.2017, 18:32 --

(Вторая часть последнего сообщения должна предшествовать первой, разумеется. Так вышло, что сначала тот файл послал.)

[Metford]

vpb в сообщении #1196081 писал(а):

Вы, возможно,больше заинтересованы в том, чтобы непосредственно уметь считать структурные константы в алгебре, а не в доказательстве классификационной теоремы как таковой.

Чисто практически - пожалуй, да. Но есть же ещё и интерес, который любопытство. Так что постараюсь проработать все задачи, которые Вы предлагаете. Сейчас вот дела навалившиеся немного раскидаю - и вперёд.

А то, что вся эта тема (даже в нынешнем её виде - с одними только задачами) будет ещё кому-нибудь полезна - так в этом я не сомневаюсь.

[vpb]

Однако, написать "курс в задачах" оказалось делом небыстрым, вопреки ожиданию.

Если подходить к написанию его систематически, надо прежде всего изложить то, что называется "требования к подготовке
читателя". Главное: не предполагается никаких знаний, выходящих за рамки университетского курса общей и линейной алгебры.
Все дополнительные сведения, которые выходят за рамки, будут объяснены. Да и обязательный курс нужен лишь частично.
Скажем, теория Галуа или целые элементы в кольцах заведомо не нужны. Более всего нужны основные понятия о группах, кольцах
и алгебрах, многочленах, линейных преобразованиях, включая жорданову форму, и билинейных формах. Более точно описать, что
именно нужно, а что нет, затруднительно. Общая закономерность такая, что чем ближе к началу какого-либо учебника,
тем концентрация нужного выше. Есть много хороших книжек: Кострикин, Винберг, начало ван дер Вардена (из последнего
особенно гл.1--3), и много других. Они друг друга дополняют, что в одной не вполне удачно написано, может быть хорошо
изложено в другой. Кроме того, угол зрения и вообще строй мыслей в этих книгах разный, с этой точки зрения их тоже полезно
комбинировать. По линейной алгебре рекомендую еще Кострикин-Манина и Мальцева.

-- 21.03.2017, 18:19 --

В общем, попробуем излагать более систематически.

1. Алгебры.
Пусть $K$ -- поле. Под алгеброй над $K$ понимается любое пространство над $K$, снабженное билинейным отображением

$$\mu:A\times A\longrightarrow A.$$

Никаких особых условий, кроме билинейности, на $\mu$ не предполагается. Вместо $\mu(a,b)$ обычно пишут $ab$. $ab$ называется произведением элементов $a$ и $b$. Таким образом, билинейность эквивалентна соотношениям

$$ (a+b)c=ac+bc\,,\qquad a(b+c)=ab+ac\,,\qquad (\lambda a)b=a(\lambda b)=\lambda(ab), $$

для любых $a,b,c\in A$, $\lambda\in K$. Вместо "для любых" говорят еще "тождественно по". Любое соотношение, верное для любых элементов алгебры, называется тождеством в этой алгебре.

Примеры алгебр: 1) Само поле $K$. 2) Любое пространство $A$, если положить $ab=0$ для любых $a$ и $b$ (алгебра с нулевым умножением).
3) Кольцо многочленов $K[x_1,\ldots,x_n]$ от одной или нескольких переменных, относительно обычного умножения многочленов.
4) Кольцо $n\times n$ матриц над полем $K$, обозначаемое $M_n(K)$, относительно обычного произведения матриц.
5) Множество векторов в обычном пространстве ${\mathbb R}^3$, относительно операции векторного произведения
$\vec a\times\vec b$ (основное поле -- ${\mathbb R}$).

Поскольку произведение не предполагается ассоциативным (т.е., вообще говоря, $a(bc)\ne(ab)c$), то в сложных произведениях типа $a((bc)d)$ нужно указывать расстановку скобок.

Алгебры, удовлетворяющие определенным тождествам, имеют специальные названия.
коммутативные алгебры: $ab=ba$;
антикоммутативные: $aa=0$ ;
ассоциативные: $a(bc)=(ab)c$ (значит, ассоциативная алгебра -- не что иное, как ассоциативное кольцо, которое одновременно является векторным пространством, причем операция умножения линейна по каждому аргументу);
альтернативные: $a(ab)=(aa)b$ и $b(aa)=(ba)a$;
алгебры Ли: антикоммутативные алгебры, в которых вдобавок выполнено тождество Якоби

$$ (ab)c+(bc)a+(ca)b=0.$$

йордановы: коммутативные алгебры, удовлетворяющие тождеству $((xx)y)x=(xx)(yx)$.

Замечание 1. Альтернативные и йордановы алгебры имеют отношение к алгебрам Ли (а именно, с их помощью строятся
простые алгебры Ли типов $G_2$ и $F_4$), но более подробно об этом сейчас писать неуместно, так как предмет весьма сложен. См. М.М. Постников, Группы и алгебры Ли, лекции 14, 15, 16.

Задача 1. Показать, что тождество $aa=0$ влечет $ab=-ba$, $\forall a,b$. Если характеристика поля отлична от 2, то и обратно, $ab=-ba$ влечет $aa=0$.

В дальнейшем мы будем предполагать, что основное поле -- характеристики 0, скажем ${\mathbb Q}$, ${\mathbb R}$ или ${\mathbb C}$, а начиная с некоторого места --- что оно и алгебраически замкнуто. Алгебры Ли над полями простой характеристики --- предмет сложный. Над незамкнутыми полями -- даже над ${\mathbb R}$ --- тоже непростой, сложней, чем над комплексным полем (я в этом предмете и не разбираюсь).

Замечание 2. Произведение в алгебре Ли обычно обозначается $[a,b]$ или $[ab]$. Но пока что удобно использовать обычное обозначение $ab$. (Да и вообще мы пока говорим об алгебрах вообще, а не специфически об алгебрах Ли).

Задача 2. Проверить, что векторы в трехмерном пространстве образуют алгебру Ли, над ${\mathbb R}$, относительно векторного умножения.

Размерность алгебры -- это её размерность как векторного пространства.

Задача 3. Пусть $A$ -- одномерная алгебра с ненулевым умножением. Доказать, что существует базисный элемент $e\in A$, для которого $ee=e$. Таким образом, $A$ изоморфна полю $K$, как алгебра.

Задача 4. Пусть $A$ -- двумерная антикоммутативная алгебра с ненулевым умножением. Показать, что существует базис $e_1, e_2$, в котором $e_1^2=e_2^2=0$ и $e_1e_2=e_1$. Проверить далее, что $A$ -- алгебра Ли.

Задача 5. В определениях разных типов алгебр выше все тождества были однородны по каждой переменной. Например, в тождестве $a(ab)=(aa)b$, которое можно переписать как $a(ab)-(aa)b=0$, оба слагаемых имеют степень 2 по $a$ и 1 по $b$. Это не случайно. Доказать, что если поле $K$ бесконечно (в частности, если оно имеет характеристику $0$), и $f(x_1,\ldots,x_n)=0$ --- тождество в $A$, то любая его однородная компонента -- тоже тождество. Например, если

$$ (aa)b+b(bb)+2(bb)b-(cb)(aa)=0 $$

--- тождество, то $(aa)b=0$, $b(bb)+2(bb)b=0$, и $(cb)(aa)=0$ -- также тождества в $A$. Таким образом, любая совокупность тождеств эквивалентна некоторой совокупности (поли) однородных тождеств.

(Эта задача -- относительно сложная, и в дальнейшем не понадобится, но в общем полезная).

Пусть $A$ -- алгебра. Элемент $e\in A$ такой, что $ex=xe=x$ для всех $x\in A$, называется (двусторонней) единицей. Единицы может не быть. Например, в алгебре многочленов единица есть, а в произвольной алгебре с нулевым умножением -- нет.

Задача 7. Элемент $e$ называется левой единицей, если $ex=x$ $\forall\,x\in A$, и правой единицей, если $xe=x$ $\forall\,x\in A$.
(а) Допустим, что $A$ имеет левую единицу $e'$ и правую единицу $e''$. Доказать, что $e'=e''$, и этот элемент является двусторонней единицей.
(б) Алгебра может иметь не более одной двусторонней единицы.

Пусть ${\rm dim\,} A=n$, и $e_1,\ldots,e_n$ --- базис в $A$. Коэффициенты $a_{ij}^k$ в разложении $e_ie_j=\sum_{k=1}^n a_{ij}^ke_k$ называются структурными константами алгебры $A$.

Задача 8. Пусть $A$ --- алгебра, $e_1,\ldots,e_n$ -- базис. В каждом случае доказать эквивалентность утверждений (i), (ii), (iii).
(а) (i) $A$ коммутативна, (ii) $e_ie_j=e_je_i$, $\forall$ $i,j=1,\ldots,n$, (iii) $a_{ij}^k=a_{ji}^k$, $\forall i,j,k$.
(б) (i) $A$ антикоммутативна, (ii) $e_ie_j=-e_je_i$, $\forall$ $i,j$, (iii) $a_{ij}^k=-a_{ji}^k$, $\forall i,j,k$.
(в) (i) $A$ ассоциативна, (ii) $(e_ie_j)e_k=e_i(e_je_k)$, $\forall$ $i,j,k$, (iii) $\sum_{l=1}^n a_{ij}^la_{lk}^m=\sum_l a_{il}^m a_{jk}^l$, $\forall$ $i,j,k,m$.
(г) (i) В $A$ выполнено тождество Якоби, (ii) $(e_ie_j)e_k+(e_je_k)e_i+(e_ke_i)e_j=0$, $\forall$ $i,j,k$,
(iii) $\sum_{l=1}^n (a_{ij}^l a_{lk}^m+ a_{jk}^l a_{li}^m + a_{ki}^l a_{lj}^m)=0$, $\forall$ $i,j,k,m$.

Пусть $A,A'$ -- две алгебры. Отображение $f:A\longrightarrow A'$ -- гомоморфизм алгебр, если $f$ линейно, и $f(xy)=f(x)f(y)$ $\forall$ $x,y\in A$.

Задача 9. (а) Если $A$, $B$, $C$ -- три алгебры, $f:A\longrightarrow B$ и $g:B\longrightarrow C$ -- гомоморфизмы алгебр, то $g\circ f: A\longrightarrow C$ -- тоже гомоморфизм.
(б) Если $f:A\longrightarrow B$, $g:B\longrightarrow C$, и $h:C\longrightarrow D$ -- гомоморфизмы алгебр, то $h(gf)=(hg)f$.

Ясно, что тождественное отображение ${\rm id}_A$ -- гомоморфизм $A$ в себя. Говоря короче, алгебры и их гомоморфизмы образуют категорию. Согласно общекатегорным определениям, гомоморфизм $f:A\longrightarrow B$ есть изоморфизм, если существует гомоморфизм $g:B\longrightarrow A$ такой,
что $gf={\rm id}_A$ и $fg={\rm id}_B$.

Задача 10. (а) Пусть $G$, $G_1$ -- две группы, $f:G\longrightarrow G_1$ -- такое отображение, что $f(xy)=f(x)f(y)$ $\forall$ $x,y\in G$. Тогда $f(e)=e_1$, где $e$ -- единица в $G$, $e_1$ -- в $G_1$, а также $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$ (т.е., отображение между двумя группами, которое является гомоморфизмом полугрупп (без единицы), является на самом деле гомоморфизмом групп).
(б) Пусть $f:G\longrightarrow G_1$ -- гомоморфизм групп, являющийся биективным отображением. Тогда обратное отображение $f^{-1}:G_1\longrightarrow G$ -- тоже гомоморфизм групп (так что $f$ -- изоморфизм групп).
(в) Пусть $f:V\longrightarrow V'$ -- линейное отображение векторных пространств, биективное как отображение множеств. Тогда обратное отображение $f^{-1}:V'\longrightarrow V$ также линейно.
(г) Пусть $f:A\longrightarrow A'$ -- гомоморфизм алгебр, являющийся биекцией. Тогда обратное отображение $f^{-1}:A'\longrightarrow A$ тоже является гомоморфизмом алгебр (т.е., биективный гомоморфизм является изоморфизмом).

Задача 11. Две алгебры $A$, $A'$ изоморфны тогда и только тогда, когда существуют базисы $e_1,\ldots,e_n$ в $A$ и $e'_1,\ldots,e'_n$ в $A'$ такие, что структурные константы алгебр $A$ и $A'$, соответственно, в этих базисах совпадают.

-- 21.03.2017, 18:39 --

2. Подалгебры, идеалы, факторалгебры, прямые суммы.

Пусть $A$ -- произвольная алгебра, $U,V\subseteq A$ -- произвольные подпространства. Через $UV$ обозначим подпространство, порожденное всеми произведениями $uv$, где $u\in U$, $v\in V$. Сумма и пересечение подпространств определяется как обычно.
Задача 1. Пусть $A$ -- произвольная алгебра, $U,V,W\subseteq A$ -- подпространства.
(а) Доказать, что $(U+V)W=UW+VW$, $U(V+W)=UV+UW$.
(б) Доказать, что $(U\cap V)W\subseteq UW\cap VW$. Привести пример, когда это включение строгое.

(Указание к (б))

Рассмотреть ${\mathbb C}$ как алгебру над ${\mathbb R}$.

Если $VV\subseteq V$, называем $V$ подалгеброй, и обозначаем этот факт как $V<A$. Левый (правый) идеал -- это подпространство $V$ такое, что $AV\subseteq V$ (соответственно $VA\subseteq V$); обозначение $V\triangleleft_lA$, $V\triangleleft_rA$, соответственно. Двусторонний идеал -- это одновременно левый и правый идеал, обозначение $V\triangleleft A$. Слово "идеал" без прилагательного означает двусторонний идеал.

Задача 2. (а) Если $A,B<C$, то $A\cap B<C$;
(б) $A,B\triangleleft_l C$ $\Rightarrow$ $A\cap B\triangleleft_l C$; аналогично для правых и двусторонних идеалов.
(в) $A<C$, $B\triangleleft_lC$ $\Rightarrow$ $A\cap B\triangleleft_lA$. Аналогично для правых и двусторонних идеалов.

Задача 3. (а) Если $A,B\triangleleft_l C$, то $A+B\triangleleft_l C$, и аналогично для правых и двусторонних идеалов.
(б) Если $A<C$, $B\triangleleft C$, то $A+B<C$.

Задача 4. Допустим, $A$ коммутативна или антикоммутативна. Тогда
(а) $UV=VU$ для любых подпространств $U,V\subseteq A$;
(б) если $B$ -- левый или правый идеал в $A$, то $B$ -- двусторонний идеал.

Задача 5. Пусть $A$ -- ассоциативная алгебра.
(а) $(UV)W=U(VW)$, для любых подпространств $U,V,W\subseteq A$.
(б) Если $I\triangleleft_lA$, $V\subseteq A$, то $IV\triangleleft_lA$. Аналогично $I\triangleleft_rA$ $\Rightarrow$
$VI\triangleleft_rA$.
(в) $I\triangleleft_lA$, $J\triangleleft_rA$ $\Rightarrow$ $IJ\triangleleft A$.
(г) $I\triangleleft A$, $J\triangleleft A$ $\Rightarrow$ $IJ\triangleleft A$.

Задача 6. Пусть $L$ -- алгебра Ли.
(а) Для любых подпространств $U(VW)\subseteq V(UW)+W(UV)$.
(б) $I,J\triangleleft L$ $\Rightarrow$ $IJ\triangleleft L$.

Пусть $A$ -- произвольная алгебра, $I\triangleleft A$ -- двусторонний идеал. На факторпространстве $A/I$ определим умножение
по правилу $(a+I)(b+I)=ab+I$. Проверим, что это определение корректно, т.е. если $a+I=a_1+I$, $b+I=b_1+I$, то $ab+I=a_1b_1+I$.
Действительно, имеем $a_1=a+x$, $b_1=b+y$, для некоторых $x,y\in I$. Тогда $a_1b_1=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy$. Но $ay,xb,xy\in I$,
значит $a_1b_1-ab\in I$, откуда $ab+I=a_1b_1+I$.

Задача 7. Доказать, что умножение на $A/I$, определенное выше, билинейно; таким образом, $A/I$ превращается в алгебру.

Пусть $A$, $B$ -- две алгебры, $A\oplus B$ -- прямая сумма пространств. На $A\oplus B$ определим умножение как
$(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)$.
Задача 8. Доказать, что относительно этого умножения $A\oplus B$ является алгеброй.

$A\oplus B$, с этой операцией умножения, обозначается $A\stackrel{\cdot}{+} B$ (внешняя прямая сумма алгебр).
Задача 9. Пусть $A$ -- алгебра, $A_1$, $A_2$ -- подалгебры в $A$ такие, что $A=A_1\oplus A_2$ как пространство, и
$A_1A_2=A_2A_1=0$. Тогда $A\cong A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$. В последнем случае говорят, что $A$ -- внутренняя прямая сумма
своих подалгебр $A_1$ и $A_2$. С другой стороны, если $A=A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$ -- внешняя прямая сумма алгебр $A_1$ и $A_2$,
то подпространства $A'_1=\{(a,0)\mid a\in A_1\}$ и $A'_2=\{(0,a)\mid a\in A_2\}$ -- подалгебры в $A$, и $A$ -- внутренняя
прямая сумма $A'_1$ и $A'_2$.

Задача 10. (а) Если в алгебре $A$ выполнено некоторое тождество, то в любой подалгебре и в любой факторалгебре выполнено то же тождество.
(б) Если в обоих алгебрах $A$ и $B$ выполнено тождество (одно и то же в обеих), то в $A\stackrel{\cdot}{+} B$ выполнено то
же тождество.

Задача 11. Пусть $f:A\longrightarrow B$ -- гомоморфизм алгебр, $I={\rm Ker\,}f$ -- его ядро, $C={\rm Im\,}f$ --
образ. Доказать, что (а) $I\triangleleft A$, (б) $C<B$.

Задача 12. Пусть $f:A\longrightarrow B$ -- гомоморфизм алгебр.
(а) Если $C<A$, то $f(C)<B$.
(б) Если $C<B$, то $f^{-1}(C)<A$ (здесь $f^{-1}(C)=\{x\in A\mid f(x)\in C\}$ -- полный прообраз).
(в) $C\triangleleft_lB$ $\Rightarrow$ $f^{-1}(C)\triangleleft_lA$; аналогично для правых и двусторонних идеалов.
(г) Если $f$ сюръективно, и $C\triangleleft_lA$, то $f(C)\triangleleft_lB$. Аналогично для правых и двусторонних идеалов.

Задача 13. Доказать, что левые идеалы в $A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$ -- это в точности подпространства вида
$I_1\oplus I_2$, где $I_1\triangleleft_l A_1$, $I_2\triangleleft_l A_2$. Аналогично для правых и двусторонних идеалов.

[vpb]

3. Три канонических изоморфизма.
В алгебре есть такой результат (точнее, группа утверждений), называемый "три теоремы об изоморфизме" (хотя правильнее говорить о "трех канонических изоморфизмах"). О них можно прочитать, в том или ином виде, в разных учебниках, например в ван дер Варден, п.79; Кострикин, т.3, гл.1, п.4.
В "студенческой" алгебре их значение невелико, они даже не всегда включаются в обязательный курс (например, в Винберге есть только первая из них. Тем более у меня есть сомнение, что они включаются в курсы алгебры для физиков). Но в более сложных вопросах они совершенно необходимы. Нет сомнения, что это один из краеугольных
камней алгебры. Даже в Википедии есть статья "Теоремы об изоморфизме". По сути, в них нет ничего сложного. В частных случаях и неявном виде они были известны, несоменно, еще со времен Гаусса, Абеля и Галуа. Главное -- их явно и аккуратно сформулировать и доказать. Сейчас мы их напомним, по возможности подробнее.

Три теоремы об изоморфизме можно сформулировать для разных алгебраических структур: групп, групп с операторами, абелевых групп, векторных пространств, ассоциативных колец, колец Ли, ассоциативных алгебр, алгебр Ли, модулей над группами / ассоциативными кольцами / кольцами Ли / ассоциативными алгебрами / алгебрами Ли (что такое модули и представления, будет напомнено позже). Наиболее фундаментальные из этих теорем -- те, что касаются групп, а остальные от них "производные", т.е. для групп, обладающих специальными свойствами (скажем, абелевых групп), или снабженных дополнительными операциями, совместимыми, в подходящем смысле, с умножением в группе (скажем, ассоциативное кольцо -- это абелева группа, записанная аддитивно, снабженная еще одной операцией -- умножением, удовлетворяющим некоторым условиям).

Сформулируем теоремы для случая групп.
1-я теорема об изоморфизме. Если $f:G\longrightarrow H$ -- произвольный гомоморфизм групп, $A={\rm Ker\,}f$ и $B={\rm Im\,}f$ --- его ядро и образ, соответственно, то $B$ -- подгруппа в $H$, $A$ --- нормальная подгруппа в $G$, и $G/A\cong B$.

2-я теорема. Пусть $G$ --- группа, $H\leq G$ --- произвольная подгруппа, $K\trianglelefteq G$ --- нормальная подгруппа. Тогда множество

$$ HK=\{hk\mid h\in H,\ k\in K\}$$

является подгруппой в $G$, $K$ --- нормальная подгруппа в $HK$, $K\cap H$ --- нормальная подгруппа в $H$, и $HK/K\cong H/(H\cap K)$.

Теорема о соответствии подгрупп. Пусть $G$ --- группа, $N\trianglelefteq G$ --- её нормальная подгруппа. Тогда, если $H$ --- подгруппа в $G$ такая, что $N\leq H\leq G$, то $\overline H=H/N$ можно рассматривать как подгруппу в $\overline G=G/N$. Соответствие $H\leftrightarrow\overline H$ есть биекция между множеством всех подгрупп в $G$, содержащих $N$, и множеством всех подгрупп в $\overline G$. Кроме того, $H\trianglelefteq G$ тогда и только тогда, когда $\overline H\trianglelefteq \overline G$.

3-я теорема. Пусть $A$ --- группа, $B$ и $C$ --- её нормальные подгруппы, причем $C\leq B$. Тогда $A/B\cong(A/C)/(B/C)$.
(Заметим, что $B/C$ является нормальной подгруппой в $A/C$ в силу теоремы о соответствии).

-- 28.03.2017, 20:41 --

Докажем теоремы об изоморфизме и теорему о соответствии, пока для случая групп. При этом мы не просто докажем изоморфность некоторых факторгрупп, а построим некоторые вполне определенные изоморфизмы между ними (называемые каноническими).

Доказательство каждой из трех теорем делится, примерно, на три части: (а) описание предполагаемого изоморфизма, (б) доказательство корректности построенного отображения (что это значит, будет понятно ниже), (в) доказательство его биективности и проверка того, что оно совместимо с операциями в группе (умножением и взятием обратного). При этом мы сначала будем, как правило, доказывать, что предполагаемый изоморфизм сохраняет умножение; отсюда будет следовать (согласно задаче 10 пункта 1 "Алгебры"), что единица переходит в единицу и обратный элемент в обратный. После этого для доказательства биективности достаточно будет сначала доказать сюръективность, а затем проверить, что лишь единичный элемент переходит в единичный, откуда будет следовать инъективность.

1-я теорема. Доказательство того, что образ любого гомоморфизма --- подгруппа, а ядро --- нормальная подгруппа --- это простая теорема, содержащаяся во всех учебниках, и это мы считаем известным.
Элементы из $G/A$ --- это смежные классы вида $gA$, где $g\in G$. Определим отображение $\varphi:G/A\longrightarrow B$, полагая $\varphi(gA)=f(g)$.

Проверим, что $\varphi$ определено корректно, т.е. не зависит от выбора представителя для смежного класса. Т.е., надо доказать, что если $g_1A=g_2A$, то $f(g_1)=f(g_2)$. Заметим, что из $g_1A=g_2A$ следует, что $g_1^{-1}g_2\in A$, откуда $1=f(g_1^{-1}g_2)=f(g_1)^{-1}f(g_2)$, значит $f(g_1)=f(g_2)$, что и требовалось.

Докажем, что $\varphi$ сохраняет умножение в группе. Пусть $x,y\in G/A$, т.е. $x=x_1A$, $y=y_1A$ для некоторых $x_1,y_1\in G$. Тогда $xy=x_1y_1A$. Значит $\varphi(xy)=f(x_1y_1)=f(x_1)f(y_1)=\varphi(x)\varphi(y)$.

Докажем, что $\varphi$ сюръективно. Пусть $b\in B$. Тогда $b=f(g)$ для некоторого $g\in G$, откуда $b=f(g)=\varphi(gA)$, значит $\varphi$ сюръективно. Покажем, наконец, что только единичный элемент переходит в единицу. Если $\varphi(gA)=1$, то $f(g)=1$, значит $g\in{\rm Ker\,}f=A$, но тогда $gA$ --- единичный элемент факторгруппы $G/A$.
QED

2-я теорема. Обратим внимание, что если $h\in H$, $k\in K$, то $kh=hk'$ для некоторого $k'\in K$, а именно $k'=h^{-1}kh$ (что $\in K$, так как $K$ нормальна). Поэтому для двух элементов $h_1k_1, h_2k_2\in HK$ имеем

$$(h_1k_1)(h_2k_2)=h_1(k_1h_2)k_2=h_1(h_2k_1')k_2=(h_1h_2)(k'_1k_2),$$

где $k'_1$ определяется из условия $k_1h_2=h_2k'_1$. Значит $HK$ замкнуто относительно умножения. Также $(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}=h^{-1}k'$, где $k'=hk^{-1}h^{-1}\in K$. Значит $HK$ --- подгруппа. Поскольку $K\trianglelefteq G$, то тем более $K\trianglelefteq HK$. Кроме того, $K\cap H$ --- подгруппа в $H$. Если $y\in H$ и $x\in K\cap H$, то $yxy^{-1}\in H$ (что очевидно), и также $yxy^{-1}\in K$, так как $K$ нормальна в $G$. Поэтому $yxy^{-1}\in K\cap H$, значит $K\cap H\trianglelefteq H$. Таким образом, мы можем рассматривать факторгруппы $HK/K$ и $H/H\cap K$.

Определим отображение $\varphi: H/H\cap K\longrightarrow HK/K$ как $\varphi(h(H\cap K))=hK$. Ясно, что если $h_1(H\cap K)=h_2(H\cap K)$, то тем более $h_1K=h_2K$; поэтому $\varphi$ определено корректно.

Пусть $x,y\in H/H\cap K$, т.е. $x=h_1(H\cap K)$, $y=h_2(H\cap K)$, для некоторых $h_1,h_2\in H$. Тогда $xy=h_1h_2(H\cap K)$. Отсюда $\varphi(xy)=h_1h_2K=(h_1K)(h_2K)=\varphi(x)\varphi(y)$. Значит $\varphi$ сохраняет умножение.

Любой смежный класс $x\in HK/K$ имеет вид $x=hK$, для некоторого $h\in H$. Тогда $x=hK=\varphi(h(H\cap K))$, значит $\varphi$ сюръективно. Наконец, допустим, что $x=h(H\cap K)\in H/H\cap K$ таково, что $\varphi(x)=1$. Тогда $hK=1\cdot K$, значит $h\in K$, откуда $h\in H\cap K$. Но тогда $h(H\cap K)$ --- единичный элемент в факторгруппе $H/H\cap K$.
QED

-- 28.03.2017, 20:49 --

Теперь обратимся к теореме о соответствии подгрупп. Я думаю, лучше всего предоставить Вам самостоятельно понять, почему это утверждение верно. Изучить главу 2 ван дер Вардена для этого вполне достаточно. Есть такая закономерность: если автор какого-либо текста пытается "строго" и "аккуратно" обосновать очевидные вещи, это способно запутать читателя. По моему, это как раз такой случай.

Пусть $G$ --- группа, $N\trianglelefteq G$ --- произвольная нормальная подгруппа. Тогда отображение $\varphi:G\longrightarrow \overline G=G/N$, которое сопоставляет каждому элементу $g\in G$ его смежный класс $gN$, является эпиморфизмом (=сюръективным гомоморфизмом) групп, называемым каноническим эпиморфизмом.
Отметим, что если $\varphi:G\longrightarrow G/N$ --- канонический эпиморфизм, а $H$ --- подгруппа такая, что $N\leq H\leq G$, то подгруппа в $\overline G$, отвечающая $H$ в силу теоремы о соответствии подгрупп, есть $\varphi(H)=H/N$. Наоборот, подгруппа в $G$, отвечающая произвольной подгруппе $X\leq G/N$, есть её полный прообраз $\varphi^{-1}(X)$.

Доказательство 3-й теоремы об изоморфизме. Пусть $\overline A=A/C$, $\overline B=B/C$. Для элемента $x\in A$ пусть $\overline x=xC$ --- его смежный класс в $A/C$, и для $y\in\overline A$ пусть $\widetilde y=y\overline B$ --- его класс в $\overline A/\overline B$. Определим отображение $\varphi: A/B\longrightarrow \overline A/\overline B$ как $\varphi(xB)=\widetilde{\overline x}$.

Прямое доказательство того, что $\varphi$ корректно определено, биективно и сохраняет умножение, было бы утомительным и запутывающим. Вместо этого, мы сведем доказательство к тому, чтобы подходящим образом применить 1-ю теорему об изоморфизме.
Поступим следующим образом. Очевидно, $\alpha:x\mapsto\overline x$ и $\beta:y\mapsto\widetilde y$ определяют эпиморфизмы $A$ на $\overline A$ и $\overline A$ на $\overline A/\overline B$, соответственно. Поэтому их композиция $\gamma=\beta\alpha:x\mapsto\overline x\mapsto\widetilde{\overline x}$ есть эпиморфизм $A$ на $\overline A/\overline B$. Покажем, что ${\rm Ker\,}\gamma=B$. Действительно, $\gamma(x)=e$ означает, что $\beta(\alpha(x))=e$, что имеет место тогда и только тогда, когда $\alpha(x)\in{\rm Ker\,}\beta=\overline B/\overline C$, т.е. когда $xC\in\overline B/\overline C$. Последнее, очевидно, эквивалентно тому, что $x\in B$. Значит, ${\rm Ker\,}\gamma=B$. Теперь мы имеем канонический эпиморфизм $A/B=A/{\rm Ker\,}\gamma\longrightarrow\overline A/\overline B$ в силу 1-й теоремы об изоморфизме.
QED

Задача 1. Доказать следующую "теорему о факторизации гомоморфизма" для групп. Пусть $\varphi:A\longrightarrow B$ --- гомоморфизм групп, $N\trianglelefteq A$ --- нормальная подгруппа такая, что $N\leq{\rm Ker\,}\varphi$, и $\alpha:A\longrightarrow\overline A=A/N$ --- канонический эпиморфизм. Тогда существует, причем единственный, гомоморфизм $\beta:\overline A\longrightarrow B$ такой, что $\varphi=\beta\alpha$.

[Metford]

vpb
Почему Вы не напишете книгу? Ведь фактически она получается здесь, в теме. Я думаю, что не был бы её единственным читателем. Такие книги бывают очень полезны вот в таких случаях, когда нужно изучить именно определённую тему, а не целый курс алгебры, например.
Большую работу ведь проделываете.

[vpb]

Metford
Спасибо, что оцениваете мой труд. Вполне вероятно, что он и другим людям тоже полезен будет. Замысла написать книгу у меня пока нет. Тем более что я только-только начал. Книгу писать --- дело гораздо более сложное, по моим понятиям, чем серию постов. Если выяснится, что то, что я пишу, имеет преимущества перед существующими пособиями, тогда, возможно, в будущем я это переработаю в книгу. Но пока, в общем, иметь такие амбиции мне рано... а однако ж, всё может быть! С уважением, vpb.