Однако, написать "курс в задачах" оказалось делом небыстрым, вопреки ожиданию.
Если подходить к написанию его систематически, надо прежде всего изложить то, что называется "требования к подготовке
читателя". Главное: не предполагается никаких знаний, выходящих за рамки университетского курса общей и линейной алгебры.
Все дополнительные сведения, которые выходят за рамки, будут объяснены. Да и обязательный курс нужен лишь частично.
Скажем, теория Галуа или целые элементы в кольцах заведомо не нужны. Более всего нужны основные понятия о группах, кольцах
и алгебрах, многочленах, линейных преобразованиях, включая жорданову форму, и билинейных формах. Более точно описать, что
именно нужно, а что нет, затруднительно. Общая закономерность такая, что чем ближе к началу какого-либо учебника,
тем концентрация нужного выше. Есть много хороших книжек: Кострикин, Винберг, начало ван дер Вардена (из последнего
особенно гл.1--3), и много других. Они друг друга дополняют, что в одной не вполне удачно написано, может быть хорошо
изложено в другой. Кроме того, угол зрения и вообще строй мыслей в этих книгах разный, с этой точки зрения их тоже полезно
комбинировать. По линейной алгебре рекомендую еще Кострикин-Манина и Мальцева.
-- 21.03.2017, 18:19 --В общем, попробуем излагать более систематически.
1. Алгебры. Пусть
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
-- поле. Под
алгеброй над
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
понимается любое пространство над
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
, снабженное билинейным отображением
Никаких особых условий, кроме билинейности, на
![$\mu$ $\mu$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/07617f9d8fe48b4a7b3f523d6730eef082.png)
не предполагается. Вместо
![$\mu(a,b)$ $\mu(a,b)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/3/d9331637b01b33baa1f29ed7ede620bd82.png)
обычно пишут
![$ab$ $ab$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/8/7f8f502b4ae8e7ca96db96e9a52e2ed482.png)
.
![$ab$ $ab$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/8/7f8f502b4ae8e7ca96db96e9a52e2ed482.png)
называется
произведением элементов
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
. Таким образом, билинейность эквивалентна соотношениям
![$$ (a+b)c=ac+bc\,,\qquad a(b+c)=ab+ac\,,\qquad (\lambda a)b=a(\lambda b)=\lambda(ab), $$ $$ (a+b)c=ac+bc\,,\qquad a(b+c)=ab+ac\,,\qquad (\lambda a)b=a(\lambda b)=\lambda(ab), $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/d/33d7d3f884311c96620fe824741f39bc82.png)
для любых
![$a,b,c\in A$ $a,b,c\in A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f275c8b818f55666276d0413a6aae9ef82.png)
,
![$\lambda\in K$ $\lambda\in K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/3/1d36f8dd91b6b8456de8ffd8be6febcd82.png)
. Вместо "для любых" говорят еще "тождественно по". Любое соотношение, верное для любых элементов алгебры, называется
тождеством в этой алгебре.
Примеры алгебр: 1) Само поле
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
. 2) Любое пространство
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, если положить
![$ab=0$ $ab=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/7/727e33ed86a25fb90c838b2fbbde407c82.png)
для любых
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
(
алгебра с нулевым умножением).
3) Кольцо многочленов
![$K[x_1,\ldots,x_n]$ $K[x_1,\ldots,x_n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/2/712e5c8fcc55e1b7cf5676f60473d73d82.png)
от одной или нескольких переменных, относительно обычного умножения многочленов.
4) Кольцо
![$n\times n$ $n\times n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/e/2be744f3276b5219af5f8dd5f793e02c82.png)
матриц над полем
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
, обозначаемое
![$M_n(K)$ $M_n(K)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/3/4836775379b295a13a8f76dc4dc1ca5382.png)
, относительно обычного произведения матриц.
5) Множество векторов в обычном пространстве
![${\mathbb R}^3$ ${\mathbb R}^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/1/3c19f63605c4f337ac1eaac7381357db82.png)
, относительно операции векторного произведения
![$\vec a\times\vec b$ $\vec a\times\vec b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/5/7753d98e1449a9218a3733cbc7bd351a82.png)
(основное поле --
![${\mathbb R}$ ${\mathbb R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47cdd69a0aaacf6f16b2bdab5ce072d182.png)
).
Поскольку произведение не предполагается ассоциативным (т.е., вообще говоря,
![$a(bc)\ne(ab)c$ $a(bc)\ne(ab)c$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/214638e1f8eb9c525500196b5634787282.png)
), то в сложных произведениях типа
![$a((bc)d)$ $a((bc)d)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/3/cb3f6a8099a456c4fce9e20e0730144c82.png)
нужно указывать расстановку скобок.
Алгебры, удовлетворяющие определенным тождествам, имеют специальные названия.
коммутативные алгебры:
![$ab=ba$ $ab=ba$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/d/21de66e1bbda908212f7f77ab11ba90082.png)
;
антикоммутативные:
![$aa=0$ $aa=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/4/1a42eee6039d4f09af301460e179019f82.png)
;
ассоциативные:
![$a(bc)=(ab)c$ $a(bc)=(ab)c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/8/9085ac383b6f698a376e4f3b6eb9946982.png)
(значит, ассоциативная алгебра -- не что иное, как ассоциативное кольцо, которое одновременно является векторным пространством, причем операция умножения линейна по каждому аргументу);
альтернативные:
![$a(ab)=(aa)b$ $a(ab)=(aa)b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/4/c544b310e15a0b5f5fc77ef3aa25fee682.png)
и
![$b(aa)=(ba)a$ $b(aa)=(ba)a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/0/330abbf5cf0fba9e5a682f4d42b0c73682.png)
;
алгебры Ли: антикоммутативные алгебры, в которых вдобавок выполнено
тождество Якоби
йордановы: коммутативные алгебры, удовлетворяющие тождеству
![$((xx)y)x=(xx)(yx)$ $((xx)y)x=(xx)(yx)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/e/43ec9bc402e5e535da48262004628f1982.png)
.
Замечание 1. Альтернативные и йордановы алгебры имеют отношение к алгебрам Ли (а именно, с их помощью строятся
простые алгебры Ли типов
![$G_2$ $G_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/5/2251a9d3343a83c0576a5089480d43eb82.png)
и
![$F_4$ $F_4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/9/d4909ab2e434b99ee0c570d56df84d3082.png)
), но более подробно об этом сейчас писать неуместно, так как предмет весьма сложен. См.
М.М. Постников, Группы и алгебры Ли, лекции 14, 15, 16.
Задача 1. Показать, что тождество
![$aa=0$ $aa=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/4/1a42eee6039d4f09af301460e179019f82.png)
влечет
![$ab=-ba$ $ab=-ba$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/3/89362eeb26cc848279d1aa55c6eb900282.png)
,
![$\forall a,b$ $\forall a,b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/a/38a5748bffcab818eeb6cc0e686a142882.png)
. Если характеристика поля отлична от 2, то и обратно,
![$ab=-ba$ $ab=-ba$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/3/89362eeb26cc848279d1aa55c6eb900282.png)
влечет
![$aa=0$ $aa=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/4/1a42eee6039d4f09af301460e179019f82.png)
.
В дальнейшем мы будем предполагать, что основное поле -- характеристики 0, скажем
![${\mathbb Q}$ ${\mathbb Q}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/c/28cb5601afc6a8ceb1a13fafce14939e82.png)
,
![${\mathbb R}$ ${\mathbb R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47cdd69a0aaacf6f16b2bdab5ce072d182.png)
или
![${\mathbb C}$ ${\mathbb C}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/9/e79900184ccf160eae0636c2c406464582.png)
, а начиная с некоторого места --- что оно и алгебраически замкнуто. Алгебры Ли над полями простой характеристики --- предмет сложный. Над незамкнутыми полями -- даже над
![${\mathbb R}$ ${\mathbb R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47cdd69a0aaacf6f16b2bdab5ce072d182.png)
--- тоже непростой, сложней, чем над комплексным полем (я в этом предмете и не разбираюсь).
Замечание 2. Произведение в алгебре Ли обычно обозначается
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
или
![$[ab]$ $[ab]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/8/598767e35dbceaec8cf334033b3d18cc82.png)
. Но пока что удобно использовать обычное обозначение
![$ab$ $ab$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/8/7f8f502b4ae8e7ca96db96e9a52e2ed482.png)
. (Да и вообще мы пока говорим об алгебрах вообще, а не специфически об алгебрах Ли).
Задача 2. Проверить, что векторы в трехмерном пространстве образуют алгебру Ли, над
![${\mathbb R}$ ${\mathbb R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47cdd69a0aaacf6f16b2bdab5ce072d182.png)
, относительно векторного умножения.
Размерность алгебры -- это её размерность как векторного пространства.
Задача 3. Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- одномерная алгебра с ненулевым умножением. Доказать, что существует базисный элемент
![$e\in A$ $e\in A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/b/7bb77312caba95c1510944553170cdd382.png)
, для которого
![$ee=e$ $ee=e$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/5/1755411b11404cd43f41e2ec05dd2ff082.png)
. Таким образом,
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
изоморфна полю
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
, как алгебра.
Задача 4. Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- двумерная антикоммутативная алгебра с ненулевым умножением. Показать, что существует базис
![$e_1, e_2$ $e_1, e_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/4/6e45973e67cf9bc08b5a479fe71e11c782.png)
, в котором
![$e_1^2=e_2^2=0$ $e_1^2=e_2^2=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/3/ea302ec9100cb6f96e05f03df96e626582.png)
и
![$e_1e_2=e_1$ $e_1e_2=e_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/d/67dba6781e35d2e2510573a9b57d656482.png)
. Проверить далее, что
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- алгебра Ли.
Задача 5. В определениях разных типов алгебр выше все тождества были
однородны по каждой переменной. Например, в тождестве
![$a(ab)=(aa)b$ $a(ab)=(aa)b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/4/c544b310e15a0b5f5fc77ef3aa25fee682.png)
, которое можно переписать как
![$a(ab)-(aa)b=0$ $a(ab)-(aa)b=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/0/420c3a2670326b3c69d4c5a82959130982.png)
, оба слагаемых имеют степень 2 по
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и 1 по
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
. Это не случайно. Доказать, что если поле
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
бесконечно (в частности, если оно имеет характеристику
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
), и
![$f(x_1,\ldots,x_n)=0$ $f(x_1,\ldots,x_n)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/3/d23227ff5ee06721b946ac71e678cdd182.png)
--- тождество в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, то любая его однородная компонента -- тоже тождество. Например, если
![$$ (aa)b+b(bb)+2(bb)b-(cb)(aa)=0 $$ $$ (aa)b+b(bb)+2(bb)b-(cb)(aa)=0 $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/f/f6f5826784bc6d4cfc5a393bb3f8648482.png)
--- тождество, то
![$(aa)b=0$ $(aa)b=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/8/26826101216c94aed73abb1c5fa9981f82.png)
,
![$b(bb)+2(bb)b=0$ $b(bb)+2(bb)b=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/c/f1c2c32fd12f6dcb0434d57362c9c19b82.png)
, и
![$(cb)(aa)=0$ $(cb)(aa)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/1/c41a3c343fb74025a7fda8b4197d618d82.png)
-- также тождества в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
. Таким образом, любая совокупность тождеств эквивалентна некоторой совокупности (поли) однородных тождеств.
(Эта задача -- относительно сложная, и в дальнейшем не понадобится, но в общем полезная).
Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- алгебра. Элемент
![$e\in A$ $e\in A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/b/7bb77312caba95c1510944553170cdd382.png)
такой, что
![$ex=xe=x$ $ex=xe=x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/4/8e46b1a7f8e66ffd3654cbdd33de2d0182.png)
для всех
![$x\in A$ $x\in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/3/a23558f101650f4b374115e5bc51766482.png)
, называется
(двусторонней) единицей. Единицы может не быть. Например, в алгебре многочленов единица есть, а в произвольной алгебре с нулевым умножением -- нет.
Задача 7. Элемент
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
называется
левой единицей, если
![$\forall\,x\in A$ $\forall\,x\in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/e/eaea23595a97baf34b5049a51c4d452082.png)
, и
правой единицей, если
![$\forall\,x\in A$ $\forall\,x\in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/e/eaea23595a97baf34b5049a51c4d452082.png)
.
(а) Допустим, что
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
имеет левую единицу
![$e'$ $e'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/c/6dc5f0c2acc7dae4f225c6a5375bc23f82.png)
и правую единицу
![$e''$ $e''$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/0/c60ad855c60c8590abaf655a7be9b28c82.png)
. Доказать, что
![$e'=e''$ $e'=e''$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/a/6facc7e7d400036d971a5f19ef48140a82.png)
, и этот элемент является двусторонней единицей.
(б) Алгебра может иметь не более одной двусторонней единицы.
Пусть
![${\rm dim\,} A=n$ ${\rm dim\,} A=n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f302f94e385fe30894ad6bb1fbe9058a82.png)
, и
![$e_1,\ldots,e_n$ $e_1,\ldots,e_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/d/14de24060d7e247638b2f727a35c706382.png)
--- базис в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
. Коэффициенты
![$a_{ij}^k$ $a_{ij}^k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/7/f07447688cc2f235032a323052e225a382.png)
в разложении
![$e_ie_j=\sum_{k=1}^n a_{ij}^ke_k$ $e_ie_j=\sum_{k=1}^n a_{ij}^ke_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/3/853f83e98099a8a2f4f494ede785ce4982.png)
называются
структурными константами алгебры
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
.
Задача 8. Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
--- алгебра,
![$e_1,\ldots,e_n$ $e_1,\ldots,e_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/d/14de24060d7e247638b2f727a35c706382.png)
-- базис. В каждом случае доказать эквивалентность утверждений (i), (ii), (iii).
(а) (i)
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
коммутативна, (ii)
![$e_ie_j=e_je_i$ $e_ie_j=e_je_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/c/a6cf41b29610cd1302555b63bf61bade82.png)
,
![$i,j=1,\ldots,n$ $i,j=1,\ldots,n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/3/7237b412e1cc84454c3ec2e784a0b98982.png)
, (iii)
![$a_{ij}^k=a_{ji}^k$ $a_{ij}^k=a_{ji}^k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/c/12c25ca6201e521b6e7597bc2e80965882.png)
,
![$\forall i,j,k$ $\forall i,j,k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2adb0f76819098dc4933e8eb6e5ab7b782.png)
.
(б) (i)
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
антикоммутативна, (ii)
![$e_ie_j=-e_je_i$ $e_ie_j=-e_je_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/8/068e98075e11f4267aa31e7ec126d1de82.png)
,
![$i,j$ $i,j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fe48dde86ac2d37419f0b35d57ac46082.png)
, (iii)
![$a_{ij}^k=-a_{ji}^k$ $a_{ij}^k=-a_{ji}^k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/9/d89a1e09099338168d826adf65d01f8882.png)
,
![$\forall i,j,k$ $\forall i,j,k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2adb0f76819098dc4933e8eb6e5ab7b782.png)
.
(в) (i)
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
ассоциативна, (ii)
![$(e_ie_j)e_k=e_i(e_je_k)$ $(e_ie_j)e_k=e_i(e_je_k)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/2/5c2da6ca2727ea5b79d734de601c571082.png)
,
![$i,j,k$ $i,j,k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/5/0c5049022b770ad2a6643de019ce3d6b82.png)
, (iii)
![$\sum_{l=1}^n a_{ij}^la_{lk}^m=\sum_l
a_{il}^m a_{jk}^l$ $\sum_{l=1}^n a_{ij}^la_{lk}^m=\sum_l
a_{il}^m a_{jk}^l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/4/694e2a48c275d0acdbbafcebcf28059382.png)
,
![$i,j,k,m$ $i,j,k,m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/e/28ed90837393d7a99fa5c266ec8c8e2e82.png)
.
(г) (i) В
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
выполнено тождество Якоби, (ii)
![$(e_ie_j)e_k+(e_je_k)e_i+(e_ke_i)e_j=0$ $(e_ie_j)e_k+(e_je_k)e_i+(e_ke_i)e_j=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/e/82ed600a027238094d5d132bcaf4626982.png)
,
![$i,j,k$ $i,j,k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/5/0c5049022b770ad2a6643de019ce3d6b82.png)
,
(iii)
![$\sum_{l=1}^n (a_{ij}^l a_{lk}^m+ a_{jk}^l a_{li}^m + a_{ki}^l a_{lj}^m)=0$ $\sum_{l=1}^n (a_{ij}^l a_{lk}^m+ a_{jk}^l a_{li}^m + a_{ki}^l a_{lj}^m)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/a/73a588fad7c12ad6c9052ebe6001f5b182.png)
,
![$i,j,k,m$ $i,j,k,m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/e/28ed90837393d7a99fa5c266ec8c8e2e82.png)
.
Пусть
![$A,A'$ $A,A'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/0/5b01785d319205652773e66682b912d982.png)
-- две алгебры. Отображение
![$f:A\longrightarrow A'$ $f:A\longrightarrow A'$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/2/462c60ede2912143b641b3f96c29ac3a82.png)
--
гомоморфизм алгебр, если
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
линейно, и
![$x,y\in A$ $x,y\in A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/6/0c64dd209afaf4e0465b4c03d6571e6882.png)
.
Задача 9. (а) Если
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
,
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
,
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
-- три алгебры,
![$f:A\longrightarrow B$ $f:A\longrightarrow B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/f/16f77b451cb50082b31c337a5839b4a382.png)
и
![$g:B\longrightarrow C$ $g:B\longrightarrow C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/4/30437508e24210e6f45a92749cafa4ee82.png)
-- гомоморфизмы алгебр, то
![$g\circ f: A\longrightarrow C$ $g\circ f: A\longrightarrow C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/1/c81998835e74d250763ef759158a8d2d82.png)
-- тоже гомоморфизм.
(б) Если
![$f:A\longrightarrow B$ $f:A\longrightarrow B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/f/16f77b451cb50082b31c337a5839b4a382.png)
,
![$g:B\longrightarrow C$ $g:B\longrightarrow C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/4/30437508e24210e6f45a92749cafa4ee82.png)
, и
![$h:C\longrightarrow D$ $h:C\longrightarrow D$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/d/2fd01e4a3dcf6cffa4c7335cd40bc6b882.png)
-- гомоморфизмы алгебр, то
![$h(gf)=(hg)f$ $h(gf)=(hg)f$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/6/ac64048096744e7d5b27cc08402672b882.png)
.
Ясно, что тождественное отображение
![${\rm id}_A$ ${\rm id}_A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/a/a6aebfbb7ed250c799afdf959108848682.png)
-- гомоморфизм
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
в себя. Говоря короче, алгебры и их гомоморфизмы образуют
категорию. Согласно общекатегорным определениям, гомоморфизм
![$f:A\longrightarrow B$ $f:A\longrightarrow B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/f/16f77b451cb50082b31c337a5839b4a382.png)
есть
изоморфизм, если существует гомоморфизм
![$g:B\longrightarrow A$ $g:B\longrightarrow A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/b/dcbb9ffc1e03b058d7b61afce1f202cc82.png)
такой,
что
![$gf={\rm id}_A$ $gf={\rm id}_A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/1/7e1855cf471dca0a985586159396bc4982.png)
и
![$fg={\rm id}_B$ $fg={\rm id}_B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/1/461be2711dc6912cf9fd41c8401bf04d82.png)
.
Задача 10. (а) Пусть
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
,
![$G_1$ $G_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/0/0e0fff175b21e36dc5c4cae2cb36897c82.png)
-- две группы,
![$f:G\longrightarrow G_1$ $f:G\longrightarrow G_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/a/69a1989f5ed62076be6fb110be6d434482.png)
-- такое отображение, что
![$x,y\in G$ $x,y\in G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/b/58b5f8e283b29916b2cb1dd76edf6f0282.png)
. Тогда
![$f(e)=e_1$ $f(e)=e_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/6/306d35b5775814be850408856206b10e82.png)
, где
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
-- единица в
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
,
![$e_1$ $e_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/d/add566ef276cab0dc7347620a837761282.png)
-- в
![$G_1$ $G_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/0/0e0fff175b21e36dc5c4cae2cb36897c82.png)
, а также
![$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$ $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/5/b454105752e9165bc1b036dcc0eb3d7b82.png)
(т.е., отображение между двумя группами, которое является гомоморфизмом полугрупп (без единицы), является на самом деле гомоморфизмом групп).
(б) Пусть
![$f:G\longrightarrow G_1$ $f:G\longrightarrow G_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/a/69a1989f5ed62076be6fb110be6d434482.png)
-- гомоморфизм групп, являющийся биективным отображением. Тогда обратное отображение
![$f^{-1}:G_1\longrightarrow G$ $f^{-1}:G_1\longrightarrow G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/9/1d9aa6c7af32c21a0e8c83661e29fad282.png)
-- тоже гомоморфизм групп (так что
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
-- изоморфизм групп).
(в) Пусть
![$f:V\longrightarrow V'$ $f:V\longrightarrow V'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/d/f5dc4e2af7f7318557c4e99d24e4410782.png)
-- линейное отображение векторных пространств, биективное как отображение множеств. Тогда обратное отображение
![$f^{-1}:V'\longrightarrow V$ $f^{-1}:V'\longrightarrow V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/c/6acd8a1d479aee3baed9f3fdfb4a4e8d82.png)
также линейно.
(г) Пусть
![$f:A\longrightarrow A'$ $f:A\longrightarrow A'$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/2/462c60ede2912143b641b3f96c29ac3a82.png)
-- гомоморфизм алгебр, являющийся биекцией. Тогда обратное отображение
![$f^{-1}:A'\longrightarrow A$ $f^{-1}:A'\longrightarrow A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/2/37240f8ad63ed91fe76b8e8b565cfe8582.png)
тоже является гомоморфизмом алгебр (т.е., биективный гомоморфизм является изоморфизмом).
Задача 11. Две алгебры
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
,
![$A'$ $A'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/0/63049c301195311c277cd8d2b79e87ca82.png)
изоморфны тогда и только тогда, когда существуют базисы
![$e_1,\ldots,e_n$ $e_1,\ldots,e_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/d/14de24060d7e247638b2f727a35c706382.png)
в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$e'_1,\ldots,e'_n$ $e'_1,\ldots,e'_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/1/b11daf2160fd61d6eb2e7732f837d9cc82.png)
в
![$A'$ $A'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/0/63049c301195311c277cd8d2b79e87ca82.png)
такие, что структурные константы алгебр
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$A'$ $A'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/0/63049c301195311c277cd8d2b79e87ca82.png)
, соответственно, в этих базисах совпадают.
-- 21.03.2017, 18:39 --2. Подалгебры, идеалы, факторалгебры, прямые суммы. Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- произвольная алгебра,
![$U,V\subseteq A$ $U,V\subseteq A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/e/65e5390669d1beafa147c05511465e1882.png)
-- произвольные подпространства. Через
![$UV$ $UV$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/0/fa0dc80740de272189792f67fe242de282.png)
обозначим подпространство, порожденное всеми произведениями
![$uv$ $uv$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/5/ee5f11272c9cd93256bbf7ba019c395382.png)
, где
![$u\in U$ $u\in U$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/f/aafd2340f3bdc9cca2b85dfbc75ec32882.png)
,
![$v\in V$ $v\in V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/e/a3e83e340d51acde28b44ffd6bc6fbca82.png)
. Сумма и пересечение подпространств определяется как обычно.
Задача 1. Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- произвольная алгебра,
![$U,V,W\subseteq A$ $U,V,W\subseteq A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/a/92a965bdc9a4216dc696f7c00641125282.png)
-- подпространства.
(а) Доказать, что
![$(U+V)W=UW+VW$ $(U+V)W=UW+VW$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/a/1ba2ba316a8f75f8033467bd127d1a6582.png)
,
![$U(V+W)=UV+UW$ $U(V+W)=UV+UW$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/a/09a254265d6cb8f90bd5574046c17ea982.png)
.
(б) Доказать, что
![$(U\cap V)W\subseteq UW\cap VW$ $(U\cap V)W\subseteq UW\cap VW$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/a/95ada8864aeb26f6003f3a84a8000bce82.png)
. Привести пример, когда это включение строгое.
(Указание к (б))
Рассмотреть
![${\mathbb C}$ ${\mathbb C}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/9/e79900184ccf160eae0636c2c406464582.png)
как алгебру над
![${\mathbb R}$ ${\mathbb R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47cdd69a0aaacf6f16b2bdab5ce072d182.png)
.
Если
![$VV\subseteq V$ $VV\subseteq V$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/5/56579e87a8e9c25916697a4b2446aae682.png)
, называем
подалгеброй, и обозначаем этот факт как
![$V<A$ $V<A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/3/9538d713755bb084090c60fe12aaa7b482.png)
.
Левый (правый) идеал -- это подпространство
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
такое, что
![$AV\subseteq V$ $AV\subseteq V$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/8/b38171f00dbfe443daac420651fbd2bc82.png)
(соответственно
![$VA\subseteq V$ $VA\subseteq V$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/5/7753135bf360e42dff119b9624b3ecd082.png)
); обозначение
![$V\triangleleft_lA$ $V\triangleleft_lA$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/9/1f9a109d5e1c96c3c51054a08a21a04d82.png)
,
![$V\triangleleft_rA$ $V\triangleleft_rA$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/9/269f4cfa764b52bd8bd4216fdc37a25d82.png)
, соответственно.
Двусторонний идеал -- это одновременно левый и правый идеал, обозначение
![$V\triangleleft A$ $V\triangleleft A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/d/b4dc794438560d6c42065250feadcf8b82.png)
. Слово "идеал" без прилагательного означает двусторонний идеал.
Задача 2. (а) Если
![$A,B<C$ $A,B<C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/5/3b5bf436237f244fc621d5a916ddf95282.png)
, то
![$A\cap B<C$ $A\cap B<C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/b/32bba6f30b48b2da8f0c83dfa9bac41b82.png)
;
(б)
![$A\cap B\triangleleft_l C$ $A\cap B\triangleleft_l C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/b/4db44aadd54381b6d9bc74d3f1eca49f82.png)
; аналогично для правых и двусторонних идеалов.
(в)
![$A<C$ $A<C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/9/de950b8bbbb20e4c388894e8074bac1082.png)
,
![$A\cap B\triangleleft_lA$ $A\cap B\triangleleft_lA$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/f/6df3ef2bc4f5c23eea685517a3ab3a5982.png)
. Аналогично для правых и двусторонних идеалов.
Задача 3. (а) Если
![$A,B\triangleleft_l C$ $A,B\triangleleft_l C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/d/87da38b6f0ec26a3614a6b34aedb494582.png)
, то
![$A+B\triangleleft_l C$ $A+B\triangleleft_l C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/9/7e9ae317903b57554e23c62f0cd6970182.png)
, и аналогично для правых и двусторонних идеалов.
(б) Если
![$A<C$ $A<C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/9/de950b8bbbb20e4c388894e8074bac1082.png)
,
![$B\triangleleft C$ $B\triangleleft C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/2444c8494949b41376556372eaa282f982.png)
, то
![$A+B<C$ $A+B<C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/9/4a9b4e69506b14ddfcb8d46ae867964782.png)
.
Задача 4. Допустим,
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
коммутативна или антикоммутативна. Тогда
(а)
![$UV=VU$ $UV=VU$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/6/5b6f4ce1a28ae60e29da43fe2bbcc8f682.png)
для любых подпространств
![$U,V\subseteq A$ $U,V\subseteq A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/e/65e5390669d1beafa147c05511465e1882.png)
;
(б) если
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
-- левый или правый идеал в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, то
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
-- двусторонний идеал.
Задача 5. Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- ассоциативная алгебра.
(а)
![$(UV)W=U(VW)$ $(UV)W=U(VW)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/8/aa80d48a7ea5cc90d75bc09abc63c0bd82.png)
, для любых подпространств
![$U,V,W\subseteq A$ $U,V,W\subseteq A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/a/92a965bdc9a4216dc696f7c00641125282.png)
.
(б) Если
![$I\triangleleft_lA$ $I\triangleleft_lA$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/2/9d224f1ce157a7021a5e2404bdcef0cb82.png)
,
![$V\subseteq A$ $V\subseteq A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/1/d11d824d198181eaeef355abcd698dca82.png)
, то
![$IV\triangleleft_lA$ $IV\triangleleft_lA$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/a/a1a78927f77b0907be91b1cbc0726e3b82.png)
. Аналогично
![$VI\triangleleft_rA$ $VI\triangleleft_rA$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/6/716a25b249ae8960bf839c18374b582382.png)
.
(в)
![$I\triangleleft_lA$ $I\triangleleft_lA$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/2/9d224f1ce157a7021a5e2404bdcef0cb82.png)
,
![$IJ\triangleleft A$ $IJ\triangleleft A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5fc7528e237b62555f1176c1b44c74d82.png)
.
(г)
![$I\triangleleft A$ $I\triangleleft A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/5/0152143eaa5eee6e614397bda56e5bc682.png)
,
![$IJ\triangleleft A$ $IJ\triangleleft A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5fc7528e237b62555f1176c1b44c74d82.png)
.
Задача 6. Пусть
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
-- алгебра Ли.
(а) Для любых подпространств
![$U(VW)\subseteq V(UW)+W(UV)$ $U(VW)\subseteq V(UW)+W(UV)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/7/4f75f832fa4e081399815eb1ccfdd0e882.png)
.
(б)
![$IJ\triangleleft L$ $IJ\triangleleft L$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/c/36c1fe06241c472d58c055dc5405f71482.png)
.
Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- произвольная алгебра,
![$I\triangleleft A$ $I\triangleleft A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/5/0152143eaa5eee6e614397bda56e5bc682.png)
-- двусторонний идеал. На факторпространстве
![$A/I$ $A/I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/5/ad5da20d9ca6399f224dcc1748c1687582.png)
определим умножение
по правилу
![$(a+I)(b+I)=ab+I$ $(a+I)(b+I)=ab+I$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/8/5e8b8370796d6ad39785ed9ef7ff820482.png)
. Проверим, что это определение корректно, т.е. если
![$a+I=a_1+I$ $a+I=a_1+I$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/e/41e26a2fdbbc1fe4716a2570ac1247d482.png)
,
![$b+I=b_1+I$ $b+I=b_1+I$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/3/8e339b5160fd533bd42845b758f8c9c782.png)
, то
![$ab+I=a_1b_1+I$ $ab+I=a_1b_1+I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/a/62a656438633485748aa24eaadbcf4d382.png)
.
Действительно, имеем
![$a_1=a+x$ $a_1=a+x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/7/0d7268dd97c30a2229c3ad0e3323dc9b82.png)
,
![$b_1=b+y$ $b_1=b+y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/3/d7332c966994a99a9134c59417a5ce0582.png)
, для некоторых
![$x,y\in I$ $x,y\in I$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/7/df7d7f6018b89e624fa64c8e52bbb6bc82.png)
. Тогда
![$a_1b_1=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy$ $a_1b_1=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/2/832124a83084b3785d22adfba4a1288c82.png)
. Но
![$ay,xb,xy\in I$ $ay,xb,xy\in I$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/f/42f2ac40ee488e135e5cbca0429284df82.png)
,
значит
![$a_1b_1-ab\in I$ $a_1b_1-ab\in I$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/4/ff4d8c5e2c24cbd603dba24a5d04815882.png)
, откуда
![$ab+I=a_1b_1+I$ $ab+I=a_1b_1+I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/a/62a656438633485748aa24eaadbcf4d382.png)
.
Задача 7. Доказать, что умножение на
![$A/I$ $A/I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/5/ad5da20d9ca6399f224dcc1748c1687582.png)
, определенное выше, билинейно; таким образом,
![$A/I$ $A/I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/5/ad5da20d9ca6399f224dcc1748c1687582.png)
превращается в алгебру.
Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
,
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
-- две алгебры,
![$A\oplus B$ $A\oplus B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/2/8522ff17f59c614ecf9e1cecf2a37da782.png)
-- прямая сумма пространств. На
![$A\oplus B$ $A\oplus B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/2/8522ff17f59c614ecf9e1cecf2a37da782.png)
определим умножение как
![$(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)$ $(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/e/e9efaa2d77565fdee96c740eb1f2b16b82.png)
.
Задача 8. Доказать, что относительно этого умножения
![$A\oplus B$ $A\oplus B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/2/8522ff17f59c614ecf9e1cecf2a37da782.png)
является алгеброй.
![$A\oplus B$ $A\oplus B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/2/8522ff17f59c614ecf9e1cecf2a37da782.png)
, с этой операцией умножения, обозначается
![$A\stackrel{\cdot}{+} B$ $A\stackrel{\cdot}{+} B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/2/bf2c4e9e282c3f08cb6db881338cff8482.png)
(
внешняя прямая сумма алгебр).
Задача 9. Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- алгебра,
![$A_1$ $A_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c74f257c1a844c30acb274ac45ecd39782.png)
,
![$A_2$ $A_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/3/0a3132987975418a383f22eef58769cb82.png)
-- подалгебры в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
такие, что
![$A=A_1\oplus A_2$ $A=A_1\oplus A_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/6/3d6ea03e018ca1be930185e5b07d41b082.png)
как пространство, и
![$A_1A_2=A_2A_1=0$ $A_1A_2=A_2A_1=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/0/2a07c6a427cbeefc5e3696d9fb26236182.png)
. Тогда
![$A\cong A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$ $A\cong A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/0/fa0ab97f97bc04bc2fcb769e03dd77ca82.png)
. В последнем случае говорят, что
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
--
внутренняя прямая сумма своих подалгебр
![$A_1$ $A_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c74f257c1a844c30acb274ac45ecd39782.png)
и
![$A_2$ $A_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/3/0a3132987975418a383f22eef58769cb82.png)
. С другой стороны, если
![$A=A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$ $A=A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/b/4cbebfa1788dbc168ff353c9fa0609d982.png)
-- внешняя прямая сумма алгебр
![$A_1$ $A_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c74f257c1a844c30acb274ac45ecd39782.png)
и
![$A_2$ $A_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/3/0a3132987975418a383f22eef58769cb82.png)
,
то подпространства
![$A'_1=\{(a,0)\mid a\in A_1\}$ $A'_1=\{(a,0)\mid a\in A_1\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/7/907bbcf92f16cbd3df6bbeebed5c13f582.png)
и
![$A'_2=\{(0,a)\mid a\in A_2\}$ $A'_2=\{(0,a)\mid a\in A_2\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/2/b321932b1f0c5025107761a03ab7a72382.png)
-- подалгебры в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, и
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- внутренняя
прямая сумма
![$A'_1$ $A'_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/e/eae9ef7282bcc22beeaa743df9cdf86482.png)
и
![$A'_2$ $A'_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/0/b30ce667d71a010e7f63259fcc3daca182.png)
.
Задача 10. (а) Если в алгебре
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
выполнено некоторое тождество, то в любой подалгебре и в любой факторалгебре выполнено то же тождество.
(б) Если в обоих алгебрах
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
выполнено тождество (одно и то же в обеих), то в
![$A\stackrel{\cdot}{+} B$ $A\stackrel{\cdot}{+} B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/2/bf2c4e9e282c3f08cb6db881338cff8482.png)
выполнено то
же тождество.
Задача 11. Пусть
![$f:A\longrightarrow B$ $f:A\longrightarrow B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/f/16f77b451cb50082b31c337a5839b4a382.png)
-- гомоморфизм алгебр,
![$I={\rm Ker\,}f$ $I={\rm Ker\,}f$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/b/73b20162c37c055c235ce4a2540c314982.png)
-- его ядро,
![$C={\rm Im\,}f$ $C={\rm Im\,}f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/e/d4e4c2eec22e81b5d09ae3f6e96cd77d82.png)
--
образ. Доказать, что (а)
![$I\triangleleft A$ $I\triangleleft A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/5/0152143eaa5eee6e614397bda56e5bc682.png)
, (б)
![$C<B$ $C<B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/9/c190708134c8df359689081b059c052982.png)
.
Задача 12. Пусть
![$f:A\longrightarrow B$ $f:A\longrightarrow B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/f/16f77b451cb50082b31c337a5839b4a382.png)
-- гомоморфизм алгебр.
(а) Если
![$C<A$ $C<A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/1/1313606e1a3d550f287fa1bea73c3a0d82.png)
, то
![$f(C)<B$ $f(C)<B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/0/a504d16cce997a35efa8d1ea5ed0889182.png)
.
(б) Если
![$C<B$ $C<B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/9/c190708134c8df359689081b059c052982.png)
, то
![$f^{-1}(C)<A$ $f^{-1}(C)<A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd105bd2c90d12dbc25a2f9683d65db082.png)
(здесь
![$f^{-1}(C)=\{x\in A\mid f(x)\in C\}$ $f^{-1}(C)=\{x\in A\mid f(x)\in C\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/0/5a05cfa9ade02784ce4991e5715ca5fe82.png)
-- полный прообраз).
(в)
![$f^{-1}(C)\triangleleft_lA$ $f^{-1}(C)\triangleleft_lA$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/b/42ba2a0017843af781a8d0f7d1cdccc782.png)
; аналогично для правых и двусторонних идеалов.
(г) Если
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
сюръективно, и
![$C\triangleleft_lA$ $C\triangleleft_lA$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/1/9311baaa8e8e3d73312ec72fdefce12c82.png)
, то
![$f(C)\triangleleft_lB$ $f(C)\triangleleft_lB$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/c/c5c10cc9f3a6168fe354b8adf581824082.png)
. Аналогично для правых и двусторонних идеалов.
Задача 13. Доказать, что левые идеалы в
![$A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$ $A_1\stackrel{\cdot}{+}A_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/5/ac57f0d654b25b560fa5ee4d29c2a7e982.png)
-- это в точности подпространства вида
![$I_1\oplus I_2$ $I_1\oplus I_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/5/af56c8e45e42e1bcea633545bdcf5bc882.png)
, где
![$I_1\triangleleft_l A_1$ $I_1\triangleleft_l A_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/4/0d4cb776b16c69c3d68b318416856bbe82.png)
,
![$I_2\triangleleft_l A_2$ $I_2\triangleleft_l A_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/4/a844e4882d64680e127aa2379f33ca5282.png)
. Аналогично для правых и двусторонних идеалов.