Плоскость, раскрашенная в 5 цветов

[Ktina]

Плоскость раскрасили в 5 цветов. Докажите, что существует 2 точки одного цвета, расстояние между которыми отлично от 1 не более чем на 0,001.
Обязательно ли найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 друг от друга?

[worm2]

2-й пункт — открытая проблема.

[Ktina]

worm2
Но ведь есть же ещё и первый

[worm2]

Первый пункт, кажется, открытой проблемой не является
Он, например, есть в качестве задачи 9b вот здесь: http://olympiads.mccme.ru/lktg/2010/2/2-1ru.pdf. И решение у него есть: http://olympiads.mccme.ru/lktg/2010/2/2-4.pdf.
Правда, мне это решение не нравится чисто эстетически.

Я пытался идти более абстрактным путём. Но "не шмогла". В процессе решения попалась любопытная лемма, которую я ни доказать, ни опровергнуть, ни даже нагуглить не смог. Я уж здесь её напишу, возможно, кому-то покажется интересной. А может быть, кому-то из специалистов по топологии — тривиальной (или имеющей тривиальный или широко известный контрпример).

Прямоугольник разбит на 2 подмножества (они не пересекаются и в объединении дают весь прямоугольник).
Доказать или опровергнуть: одно из этих подмножеств содержит связное подмножество, имеющее точки на противоположных сторонах прямоугольника. Даже идеологически немножко не так: либо одно такое подмножество соединяет верхнюю и нижнюю стороны, либо второе соединяет левую и правую.

Возможно, в формулировку нужно внести какие-то изменения, чтобы она стала верной. Например, потребовать открытости одного множества (и замкнутости другого).

[Ktina]

worm2
Большое спасибо!

[Iam]

worm2 в сообщении #1195360 писал(а):

В процессе решения попалась любопытная лемма, которую я ни доказать, ни опровергнуть, ни даже нагуглить не смог. Я уж здесь её напишу, возможно, кому-то покажется интересной. А может быть, кому-то из специалистов по топологии — тривиальной (или имеющей тривиальный или широко известный контрпример).

Прямоугольник разбит на 2 подмножества (они не пересекаются и в объединении дают весь прямоугольник).
Доказать или опровергнуть: одно из этих подмножеств содержит связное подмножество, имеющее точки на противоположных сторонах прямоугольника. Даже идеологически немножко не так: либо одно такое подмножество соединяет верхнюю и нижнюю стороны, либо второе соединяет левую и правую.

Было обсуждение здесь: http://www.mathforum.ru/forum/read/1/39892/39892/#39892. Аналогичные вопросы для гекс-поля обсуждались здесь: http://math.hashcode.ru/questions/47003/%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D0%BE-%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0%D1%85-%D0%B8%D0%B3%D1%80%D1%8B-%D0%B3%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%B8-%D0%B3%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F

[worm2]

Iam, спасибо!
brukvalubу тоже спасибо!

Тем не менее, ещё не всё ясно.
Дело в том, что в "моей" лемме всё-таки речь идёт не о непрерывных кривых, а о связных множествах. Это немножко разные вещи. Если рассмотреть контрпример brukvalubа в "связной" формулировке, то он, кажется, не срабатывает. Я его ещё раз здесь опишу:
1) Квадрат $S = [0,\,1] \times [0,\,1]$.
2) Для внутренности $S^0$ множество чисел с обеими иррациональными координатами $A = S \cap \mathbb{I}^2$ красится в белый цвет, его дополнение $B = S^0 \setminus A$ — в чёрный.
3) Для границы $\partial S$, кроме угловых точек (если ровно одна из координат равна 0 или 1) — наоборот, точки красятся в белый цвет, если вторая координата рациональна и в чёрный, если иррациональна.
4) Точки $(0,\,0)$ и $(1,\,1)$ белые, точки $(1,\,0)$ и $(0,\,1)$ — чёрные.
Множество $B$, очевидно, связно, даже линейно связно (сначала перемещаемся в горизонтальном направлении по одной рациональной координате , потом в вертикальном по другой).
В то же время его замыкание — весь квадрат $S$. Значит, множество всех чёрных точек невозможно разбить на два подмножества, в каждом из которых отсутствует предельная точка другого, т.е. по определению оно связно (хотя уже не линейно связно).

Но вот более простой вариант леммы (которого мне было бы достаточно), в котором одно из множеств открыто, а его дополнение замкнуто — справедлив, в чём я уверен на 99%. Ведь если "компоненты связности левой и правой границ" (надеюсь, понятно о чём я?) замкнуты и различны, то между ними будет зазор конечной ширины, и в этот зазор можно будет даже ломаную засунуть, не то что абстрактное связное множество. Но вот как это строго доказать — ума не приложу.