Уравнение Матье

[YURIY49]

Прошу внести ясность.
Среди открытых математических проблем в Википедии значится: "Неизвестно точное решение уравнения Матье".
Там же приводятся фундаментальные функции уравнения (функции Матье). Вопрос: Решение в функциях Матье
не является точным? А тогда каким? Аналитическим? Тогда чем в смысле терминологии точное решение отличается от аналитического?

[dsge]

YURIY49 в сообщении #1167405 писал(а):

Там же приводятся фундаментальные функции уравнения (функции Матье).

Которые определены только для одного значения показателя, $\mu=0$

[YURIY49]

То есть нет точного решения для произвольных параметров (в канонической форме записи - это параметры $a$ и $q$).
Функции Матье будут решениями только при специальном выборе этих параметров, при котором $\mu=0$?
А как $a$ и $q$ связаны с $\mu$? Где можно почитать?

[dsge]

YURIY49 в сообщении #1167405 писал(а):

Среди открытых математических проблем в Википедии значится: "Неизвестно точное решение уравнения Матье".

Что значит точное решение? Решение в специальных функциях? Так такого скорее не существует. Какая-то глупость. В английской Википедии этa проблема резонно отсутствует.

YURIY49 в сообщении #1167982 писал(а):

Где можно почитать?

Найфэ. Методы возмущения.
Арнольд. Обыкновенные Диф.уры.

[YURIY49]

Точное решение - это решение, которое обращает уравнение в тождество.
В этом смысле решение в специальных функциях, на мой взгляд, является точным.
Однако это не принципиально, возможно следует называть его аналитическим. В вопросе терминологии есть разночтения.
А какой Ваш вариант названия?

Решение уравнения Матье в известных специальных функциях, наверное, действительно не существует. Но большинство специальных функций как раз и родились, как решения соответствующих уравнений. Найдется решение - будет известна еще пара специальных функций.

[Karan]

YURIY49, пожалуйста, набирайте формулы в LaTeX. Сообщение post1167982.html#p1167982 исправлено

[dsge]

YURIY49 в сообщении #1167405 писал(а):

Среди открытых математических проблем в Википедии значится: "Неизвестно точное решение уравнения Матье".

Оказалось, что Mathematica c этим не согласна.

[YURIY49]

Да, но из этого несогласия не вытекают ответы на поставленные вопросы.
Спасибо за книги. Скачал. Почитаю.

[Singular]

Не стал создавать новую тему, решил написать здесь...

Известно модифицированное уравнение Матьё
$ \dfrac{d^2y}{dx^2}-\left(a-2q\,\Operatorname{\ch}{2x}\right)y=0, $
но нигде не нашёл что-либо про "родственное" ему уравнение
$ \dfrac{d^2y}{dx^2}-\left(a+2q\,\Operatorname{\sh}{2x}\right)y=0. $
Подскажите, пожалуйста, где можно хоть что-то узнать об этом уравнении?

[Vince Diesel]

Поскольку $\ch(2(x-i\pi/4))=-i\sh(2x)$, то формально все сводится к сдвигу независимой переменной и заменой $q$ на $iq$.

[Singular]

Про сдвиг и замену всё понятно, собственно, именно это и привело к приведенному выше уравнению Меня интересует, есть ли какие-либо исследования этого уравнения, например, что-то типа диаграммы Айнса-Стретта как для "классического" уравнения Матьё и т.д.

[Ialmazbek]

Совершенно актуально затронут вопрос об аналитическом и точном решениях. В моём понимании,как и в измерениях (например линейка,штангенциркуль,микрометр) слово точность определяется прибором.В решении дифф. уравнений численным методом точность сходимостью, а аналитическое же решение это нечто истинное (точнее не бывает).

[Lia]

Ialmazbek
Замечание за бессодержательное (или безграмотное, на выбор) сообщение.