Наивные вопросы о связности

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1194519 писал(а):

Без слова "непустых" любое топ. пространство окажется связным!

А ещё пропущено слово "непересекающихся"
Заметьте, что в первом своём сообщении я оба этих слова не забыл.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Пропуск "Непересекающихся" я тоже проглядел.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 1 закрыт, всем спасибо!

Вопрос № 2.

Пусть $X$ - произвольное топологическое пространство. Рассмотрим множества $A, B \subset X$ такие, что:
1. $A, B$ замкнуты и непусты.
2. $A \cup B$ связно.

Доказать или опровергнуть, что любая компонента связности множества $B$ пересекается с $A$.

Очень хотелось бы сказать, что $A \cup B$ разбивается на $A \cup B_1 \cup B_2$, где $B_1$ - объединение всех компонент связности $B$,пересекающихся с $A$, а $B_2$ - объединение всех компонент связности $B$, не пересекающихся с $A$, и вот если $B_2$ непусто, то... Увы, никакого "то" не получается, т.к. я не вижу, почему $B_2$ обязано быть замкнутым.

(Оффтоп)

Из первого сообщения легко видеть, что вопрос № 2 родился из неудачной попытки решить вопрос № 1. А сам вопрос № 1, между прочим, родился из попыток доказать вполне учебную теоремку, которая, как повествует ответ в конце учебника, доказывается ну совсем другим путём. Вот так у меня всегда. Поэтому и читаю каждый тонкий учебник неимоверное количество времени.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1194552 писал(а):

Пусть $X$ - произвольное топологическое пространство. Рассмотрим множества $A, B \subset X$ такие, что:
1. $A, B$ замкнуты и непусты.
2. $A \cup B$ связно.

Доказать или опровергнуть, что любая компонента связности множества $B$ пересекается с $A$.

Предлагаю следующую конструкцию в качестве контрпримера.
В качестве $X$ возьмём бесконечномерное гильбертово пространство с ортонормированным базисом $\{e_i\}_{i=1}^{\infty}$.
В качестве $A$ возьмём единичную сферу в этом пространстве.
В качестве $B$ возьмём множество $\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}B_i$, где $B_0=\{0\}$ и $B_i=\{te_i\,|\,t\in[1/(i+1),1]\}$ для $i=1,2,3,\ldots$.
Нетрудно видеть, что $B_i$ есть компоненты связности множества $B$.
(То есть все $B_i$, кроме нулевого - это такие шипы, торчащие из единичной сферы внутрь и идущие вдоль координатных осей, причём каждый следующий шип всё длиннее и всё ближе подходит к точке $0$.)
Вроде бы, все условия выполняются, тем не менее $B_0$ не пересекается с $A$.

[Anton_Peplov]

Спасибо. Я возьму паузу. Это надо осмыслить.