Наивные вопросы о связности

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о связности в разных пространствах. По одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1.
Пусть $X$ - произвольное топологическое пространство. Рассмотрим множества $A, B \subset X$ такие, что:
1. $A, B$ замкнуты и непусты.
2. $B \not \subset A$.
3. $A \cup B$ связно.

Доказать или опровергнуть, что $B$ пересекается с границей $A$.

Если бы удалось доказать, что в условиях 1 и 2 любая компонента связности множества $B$ пересекается с $A$, то утверждение было бы доказано, но попытки это доказать провалились. Одна такая компонента, конечно, есть, т.к. $A \cap B$ непусто, но она может лежать внутри $A$. Я не могу исключить, что у $B$ есть другая компонента связности, полностью лежащая в $X \setminus A$. Интуиция говорит, что в таком случае $A \cup B$ будет несвязным, и здесь-то и кроется доказательство от противного. Но как это доказать? Разве из того, что компонента связности $B_1$ множества $B$ не пересекается с $A$, следует, что она - компонента связности $A \cup B$? Для произвольных $A, B$ это явно не так, а вот для замкнутых?

С другой стороны, и контрпримера не вижу.

[Mikhail_K]

Пусть $B$ не пересекается с $\partial A$.
Множество $X\backslash{\rm{Int}}A$ замкнуто, поэтому замкнуто и его пересечение с $B$, равное
$B\backslash{\rm{Int}}A=B\backslash{\rm{Int}}A\backslash\partial A=B\backslash A$.
В силу условия 2) это пересечение непусто.
Множество $A\cup B$ представлено в виде объединения непустых непересекающихся замкнутых множеств $A$ и $B\backslash A$.

[mihaild]

Какая-то отделимость нужна. Иначе возьмем $X = \{a, b, c\}$ с открытыми множествами $\varnothing, \{a, c\}, \{b, c\}, \{c\}, X$ и $A = \{a\}, B = \{b\}$.

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1194401 писал(а):

Какая-то отделимость нужна.

В Вашем примере $A\cup B$ несвязное.

[alcoholist]

Mikhail_K в сообщении #1194402 писал(а):

В Вашем примере $A\cup B$ несвязное.

связное) Там любое открытое множество содержит $c$, значит все открытые множества пересекаются

-- Вт фев 21, 2017 18:55:37 --

Anton_Peplov в сообщении #1194395 писал(а):

т.к. $A \cap B$ непусто

это откуда?

[g______d]

В индуцированной топологии $A\cup B$ несвязно, а другого определения я не знаю.

[Mikhail_K]

Боюсь, что мы по-разному понимаем, что такое связное множество.
Я знаю понятие связного пространства - которое нельзя представить в виде объединения двух открытых (или двух замкнутых) множеств в этом пространстве.
Я называю множество связным в $X$, если оно образует связное подпространство.
Топология на подпространстве $A\cup B$ образована пересечениями всех открытых множеств в $X$ с этим самым $A\cup B$.
И это получается дискретная топология.
В ней $\{a\}$ и $\{b\}$ оба открыты, и оба замкнуты, так что $A\cup B$ несвязно.
Можно было установить это и проще: $A$ и $B$ оба замкнутые в топологии $X$, так что тем более они замкнутые в подпространстве $A\cup B$.

Эквивалентное определение связности: множество связное, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых несоприкасающихся множеств. Неважно, в топологии $X$ или в топологии подпространства, соответствующего множеству.

-- 21.02.2017, 19:10 --

g______d в сообщении #1194412 писал(а):

В индуцированной топологии $A\cup B$ несвязно, а другого определения я не знаю.

Поддерживаю.

[alcoholist]

да, ерунду написал... Окрестности множеств $A$ и $B$ могут пересекаться вне $A\cup B$

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1194400 писал(а):

Пусть $B$ не пересекается с $\partial A$.
Множество $X\backslash{\rm{Int}}A$ замкнуто, поэтому замкнуто и его пересечение с $B$, равное
$B\backslash{\rm{Int}}A=B\backslash{\rm{Int}}A\backslash\partial A=B\backslash A$.
В силу условия 2) это пересечение непусто.

Как просто и красиво, черт. То чувство, когда прошел десять километров по сугробам в неверном направлении и тут выяснилось, что надо было сделать пару шагов в верном.

-- 21.02.2017, 19:33 --

alcoholist в сообщении #1194410 писал(а):

это откуда?

По условию $A$ и $B$ замкнуты в $X$ и, следовательно, в $A \cup B$. Если $A \cap B = \varnothing$, то пространство $A \cup B$ представлено в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых в нем множеств и, следовательно, несвязно.

[mihaild]

Я думал об определении "$X$ связно, если нет двух непересекающихся открытых множеств, объединение которых содержит $X$ и каждое из которых пересекается с $X$". Но, возможно, я запомнил это из какого-то источника, где это дальше использовалось только для метрических пространств.

[Metford]

(Оффтоп)

Anton_Peplov
У Вас несколько тем было по поводу терминологии - я сейчас с ходу не разберусь, в которую из них поместить своё ощущение. Придётся прямо сюда. Увидел заголовок темы - открываю, предполагая увидеть захватывающий рельеф расслоений, покрытый разнообразными картами, с изредка встречающимися символами Кристоффеля... А тут... Просто другая планета... Впрочем тоже интересная. Правда, меня на неё пока не тянет.

[Someone]

(Metford)

Metford в сообщении #1194459 писал(а):

Просто другая планета... Впрочем тоже интересная. Правда, меня на неё пока не тянет.

Ну, тут тоже есть забавные вещи. Например, множество на плоскости, которое связно, а если удалить из него одну (конкретную) точку, то останется вполне несвязное множество, то есть, в нём каждое связное подмножество содержит не более одной точки (веер Кнастера — Куратовского).

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1194472 писал(а):

множество на плоскости, которое связно, а если удалить из него одну (конкретную) точку, то останется вполне несвязное множество, то есть, в нём каждое связное подмножество содержит не более одной точки (веер Кнастера — Куратовского)

Ну и как теперь спать идти? Приснится еще...

-- 21.02.2017, 23:42 --

Посмотрел в рувики. На диво простая конструкция, а такие дикие свойства. Чудны дела Твои, Господи...

[Metford]

(Someone)

Someone в сообщении #1194472 писал(а):

Ну, тут тоже есть забавные вещи.

Я думаю, в любом разделе математики можно найти массу любопытного. Убеждаюсь в этом постоянно. Дело в том, что я пока не чувствую в себе сил, чтобы серьёзно начать разбираться в этих вопросах Но надеюсь, что время настанет, и я начну-таки поднимать те два пласта, которые пока приходится оставлять до лучших времён. Топология - один из них. Вот тогда заглянем и на эту планету.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1194414 писал(а):

Я знаю понятие связного пространства - которое нельзя представить в виде объединения двух открытых (или двух замкнутых) множеств в этом пространстве.

Без слова "непустых" любое топ. пространство окажется связным!