Малые колебания. Связанный двойной маятник

[fred1996]

Данная задача демонстрирует, что даже в простейшем случае апроксимации веревки все не так очевидно.
Пусть у нас две одинаковые точечные массы $m$ шарирно соединены как на рисунке невесомыми стержнями одинаковой длины $l$, а угол для определенности $\pi/4$.
При прохождении положения равновесия скорости масс совсем не горизонтальные.
Надо найти период малых колебаний данной конструкции. И, кстати, гармонические ли они?

[Erleker]

Соединение горизонтальным стержнем дает связь малых углов отклонения боковых стержней:
$(l-l\alpha/\sqrt{2}+l\varphi/\sqrt{2})^2+l^2/2(\varphi+\alpha)^2=l^2$
($\alpha$- угол поднимающегося) (без знака)
А дальше из закона сохранения энергии $\frac{d}{dt}(m(\dot{\varphi}^2+\dot{\alpha}^2)/2+mgl(\alpha-\varphi)/\sqrt{2})=0$

[Munin]

fred1996 в сообщении #1194272 писал(а):

Надо найти период малых колебаний данной конструкции.

Периоды.
Вопрос автору на засыпку: сколько колебательных мод у этой конструкции?

[fred1996]

Munin в сообщении #1194360 писал(а):

fred1996 в сообщении #1194272 писал(а):

Надо найти период малых колебаний данной конструкции.

Периоды.
Вопрос автору на засыпку: сколько колебательных мод у этой конструкции?

Два угла минус одна связь дают одну степень свободы.
Соответственно одна частота.
Я в условии опустил, что рассматриваются только колебания в одной плоскости. Задача в 2D.
Если вы это имеете ввиду?
Для 3D задачи получаем 3 степени свободы.

[fred1996]

Erleker в сообщении #1194311 писал(а):

Соединение горизонтальным стержнем дает связь малых углов отклонения боковых стержней:
$(l-l\alpha/\sqrt{2}+l\varphi/\sqrt{2})^2+l^2/2(\varphi+\alpha)^2=l^2$
($\alpha$- угол поднимающегося) (без знака)
А дальше из закона сохранения энергии $\frac{d}{dt}(m(\dot{\varphi}^2+\dot{\alpha}^2)/2+mgl(\alpha-\varphi)/\sqrt{2})=0$

В первой формуле связи вы ограничились разложениями синусов и косинусов до первого члена. Это дает $(\alpha^2+\varphi^2)=\sqrt{2}(\alpha-\varphi)$
То есть углы почти совпадают, что из геометрии и так очевидно. А это значит, что косинусы малых углов нужно раскладывать до второго члена.

Тогда уравнение связи выглядит так:
$[1-\alpha/\sqrt{2}+\varphi/\sqrt{2}+\alpha^2/(2\sqrt{2})+\varphi^2/(2\sqrt{2})]^2+(\alpha+\varphi)^2/2=1$,
Что дает несколько другое соотношение между углами:
$\alpha^2+\varphi^2=2(\sqrt{2}-1)(\alpha-\varphi)$

Тогда энергетическое уравнение после подстановки имеет вид:
$(\dot{\alpha}^2+\dot{\varphi}^2)+(g/l)/(2-\sqrt{2})(\alpha^2+\varphi^2)=C$
И, зная, что наши углы в противофазе, смело можем свести это к уравнению:
$\dot{\alpha}^2+(g/l)/(2-\sqrt{2})\alpha^2=C$

[fred1996]

Попутно вопрос к знатокам сложных колебаний.
У тройного связанного маятника есть две собственые частоты малых колебаний при плоском движении.
Из симметрии ясно, что одно из них, это колебание в одной фазе.
А другое, это когда центральный шарик движется по вертикали, а боковые совершают симметричные колебания в противофазе.
Будут ли эти малые колебания линейно независимыми, или они будут плавно перетекать из одной моды в другую?

[Munin]

fred1996 в сообщении #1194379 писал(а):

Для 3D задачи получаем 3 степени свободы.

Хорошо.

fred1996 в сообщении #1194420 писал(а):

Будут ли эти малые колебания линейно независимыми, или они будут плавно перетекать из одной моды в другую?

Все малые колебания - линейно независимы. Ландау, Лифшиц. Механика.

[fred1996]

fred1996 в сообщении #1194420 писал(а):

Будут ли эти малые колебания линейно независимыми, или они будут плавно перетекать из одной моды в другую?

Munin писал(а):

Все малые колебания - линейно независимы. Ландау, Лифшиц. Механика.

А ну да, у нас же частоты фиксированы для квадратичных потенциалов. Я то подумал про потенциалы типа $x^4$. А у них частоты не фиксированы.
Например если маленький шарик катается в яме $z=x^4+2y^4$?
Че будет?

[amon]

fred1996 в сообщении #1194420 писал(а):

Будут ли эти малые колебания линейно независимыми, или они будут плавно перетекать из одной моды в другую?

В порядке уточнения к ответу уважаемого Munin'a. Всякую механическую систему с квадратичным потенциалом можно представить как набор независимых осцилляторов. Координатами таких осцилляторов будут т.наз. нормальные моды исходной системы. Это такие колебания, в которых либо все тела системы колеблются с одинаковой частотой, либо часть системы можно сделать неподвижной, а тела другой части колеблются с одинаковой частотой. Если мы возбудим нормальную моду, то никакого перетекания не будет, если нечто другое, то в каком-то смысле будет.

Пример. Возьмем два одинаковых маятника, связанных пружинкой (система, эквивалентная Вашему второму рисунку). Легко сообразить, что нормальными колебаниями будут либо синхронное колебание маятников так, что пружинка не натянута, либо колебание в противофазе. Если же мы отклоним только один маятник, удерживая другой, то первый постепенно раскачает второй, вплоть до того, что первый маятник остановится, потом все это пойдет в обратном направлении. Дело в том, что, действительно, нормальные моды линейно независимы, но мы, сдвинув только один маятник, возбудили все собственные частоты разом, поэтому результирующее движение может выглядеть весьма затейливо.

[Munin]

Потенциал 4-й степени мне встречался, если взять грузик, закреплённый между двумя пружинами, нерастянутыми в нейтральном положении.

-- 22.02.2017 14:03:04 --

В порядке уточнения к моему собственному ответу: под "малыми" колебаниями я понимал такие, которые "чувствуют" только главный член разложения потенциала (про 4 степень я, честно говоря, не задумывался, и просто подразумевал вторую). Если в потенциале есть нелинейность, и если колебания начинают её "чувствовать", то даже нормальные моды начинают "перетекать" друг в друга. Это уже в ЛЛ-1 не рассмотрено.