Произведение объекта на терминальный (категории).

[пианист]

Почему произведение любого объекта на терминальный изоморфно объекту?
$a \times T \cong a$
По аналогии с множествами, вроде бы соответствующие морфизмы это должны быть проекция произведения на $a$ $\operatorname{pr}_a$ и произведение морфизмов $\left<1_a,T_a\right>$ ($1_a$ единичный морфизм объекта $a$, $T_a$ морфизм из $a$ в $T$):
$\operatorname{pr}_a: a \times T \to a$,
$\left<1_a,T_a\right> : a \to a \times T$.
Но если с
$\operatorname{pr}_a \circ \left<1_a,T_a\right> = 1_a$
все очевидно, просто из определения $a \times T$, то откуда
$\left<1_a,T_a\right> \circ \operatorname{pr}_a = 1_{a \times T}$ - ?
Главное, как-то должна быть задействована терминальность $T$ же, иначе вывод неверен.
Вроде, это должно быть что-то очень простое, но никак не соображу

[Xaositect]

Любой морфизм в произведение можно представить в виде $\left<f, g\right>$. Представьте левую и правую часть в таком виде.

[пианист]

Слева $\left<1_a \circ \operatorname{pr}_a,T_a \circ \operatorname{pr}_a\right>$, справа $\left< \operatorname{pr}_a, \operatorname{pr}_T\right>$.
Да, все верно, и видно, зачем нужна терминальность.
Спасибо!