Слишком сложный двойной интеграл в полярных координатах

[wrest]

XpucToc в сообщении #1193382 писал(а):

Нормально?

А вы заметили, что выражение для $r^2$ у вас уже было ранее в выкладках?
То есть вы сперва честно извлекли корень из $r^2$, а затем честно возвели в квадрат

[Someone]

XpucToc в сообщении #1193385 писал(а):

Я не стал расписывать подробно процесс подстановки значений и выражения r.

Причём здесь "расписывать подробно"? Просто написана ерунда, за которую преподаватель может выставить с экзамена, если он не решил "махнуть рукой" на попытки Вас чему-то научить.

XpucToc в сообщении #1193385 писал(а):

Ну а это внешний интеграл:
$\frac{2a^{2}}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}{\sin^{6}\Theta}=a^{2}\left ( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{\sin^{2}\Theta} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\cot^{4}\Theta}{\sin^{2}\Theta}\right )$

Здесь тоже чего-то не хватает. И вовсе не потому, что "не стал расписывать подробно".

wrest в сообщении #1193387 писал(а):

То есть вы сперва честно извлекли корень из $r^2$, а затем честно возвели в квадрат

Так и должно быть.

[XpucToc]

wrest в сообщении #1193387 писал(а):

А вы заметили, что выражение для $r^2$ у вас уже было ранее в выкладках?

Честно - после 4-х часов мучений на такие мелочи уже как-то не обращаешь внимания.
Но забавно

[wrest]

XpucToc в сообщении #1193385 писал(а):

Ну а это внешний интеграл:
$\frac{2a^{2}}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sin^{4}\Theta-\cos^{4}\Theta}{\sin^{6}\Theta}=a^{2}\left ( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{\sin^{2}\Theta} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\cot^{4}\Theta}{\sin^{2}\Theta}\right )$

Первый уж совсем простой.
Во втором делайте замену $u=\cos(\theta)/\sin(\theta)$
Запишите чему равно $du$

[XpucToc]

Someone в сообщении #1193388 писал(а):

Здесь тоже чего-то не хватает.

Я уже Ваши сообщения без взгляда на ник узнаю
Если бы я знал, чего там не хватает, я бы сюда не обратился.

-- 17.02.2017, 17:25 --

wrest в сообщении #1193390 писал(а):

Первый уж совсем простой.

Нет, интеграл-то я возьму, спасибо Мне просто нужно убедиться в том, что сам ход решения верный.

[Someone]

XpucToc в сообщении #1193391 писал(а):

Я уже Ваши сообщения без взгляда на ник узнаю

Дык, я человек аккуратный. А Вы посмотрите в книжке, как записан интеграл. Там, случайно, кроме подынтегральной функции ничего не торчит на виду?

[XpucToc]

Someone в сообщении #1193393 писал(а):

Дык, я человек аккуратный.

Нет, вообще-то я имел в виду, что Ваши сообщения крайне нетактичны и грубы Хотя одно другого не исключает. Да, я забыл $d\Theta$.

[wrest]

XpucToc в сообщении #1193391 писал(а):

Если бы я знал, чего там не хватает, я бы сюда не обратился.

У вас на листе вроде интегралы по-человечески были написаны, как положено интегралам. С началом и концом. Да и "фи" мне кажется приятней выглядит чем заглавная "тета" не только когда вы пишете на листке, а и тут.
Интеграл обычно пишут $\int f(x)dx$

XpucToc в сообщении #1193391 писал(а):

Мне просто нужно убедиться в том, что сам ход решения верный.

Ход-то верный, а какой он еще может быть -- перешли в полярные координаты, все выразили, определили ООФ, интегрируете...

[XpucToc]

wrest в сообщении #1193396 писал(а):

У вас на листе вроде интегралы по-человечески были написаны, как положено интегралам.

Не люблю Латекс, из-за скобок и слешей в глазах рябит и вечно что-то путается, забывается...

wrest в сообщении #1193396 писал(а):

Ход-то верный

Ну то есть просто беру последний интеграл и всё?

[wrest]

XpucToc в сообщении #1193391 писал(а):

Нет, интеграл-то я возьму, спасибо

Ну... судя по названию темы и первому посту, именно с этим у вас и были сложности.
Так что уж возьмите да и напишите сюда. А то мало ли...

-- 17.02.2017, 16:39 --

XpucToc в сообщении #1193397 писал(а):

Ну то есть просто беру последний интеграл и всё?

Оба. Берёте обидва последних интеграла, складываете результаты, умножаете сумму на $a^2$
И всё.

[XpucToc]

wrest в сообщении #1193398 писал(а):

Оба. Берёте обидва последних интеграла, складываете результаты, умножаете сумму на $a^2$

Да, это не забуду
К вечеру отпишусь.

[Someone]

(XpucToc)

XpucToc в сообщении #1193395 писал(а):

Нет, вообще-то я имел в виду, что Ваши сообщения крайне нетактичны и грубы

На слово "ерунда" обиделись? Нормальное слово, не содержащее никакой нетактичности или грубости. Там же написана бессмыслица. Если я сам ерунду напишу, я её охарактеризую нисколько не ласковее.

Someone в сообщении #1193393 писал(а):

Дык, я человек аккуратный.

Я имел в виду, что именно по этой причине я придираюсь к вашим формулам. Я слишком много раз видел, как из-за неаккуратности получается совершенно неправильный результат.

Ну ладно, давайте не будем раскручивать эту тему.

XpucToc в сообщении #1193395 писал(а):

Да, я забыл $d\Theta$

Это верно. Причём, забыли три раза в одном равенстве, не считая более ранних сообщений.

XpucToc в сообщении #1193385 писал(а):

Поправил:

Ну ладно, не буду требовать от Вас написать здоровенное выражение в верхнем индексе.

(wrest)

wrest в сообщении #1193398 писал(а):

Someone в сообщении #1193393 писал(а):

Нет, интеграл-то я возьму, спасибо

Я этого не писал, но возражать не буду. По крайней мере, по поводу обсуждаемого интеграла. Какой-нибудь могу и не взять…

[XpucToc]

Поехали:
1). $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{\sin^{2}\Theta}d\Theta=-ctg(\Theta)\left.\begin{matrix} \frac{3\pi}{4}\\ \frac{\pi}{4} \end{matrix}\right|=-ctg(\frac{3\pi}{4})+ctg(\frac{\pi}{4})=2$

2). $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\cot^{4}\Theta}{\sin^{2}\Theta}d\Theta=\begin{vmatrix} u=\cot \Theta \\du= -\frac{1}{\sin^{2}\Theta}d\Theta \end{vmatrix}(*)=\int_{-1}^{1}-u^{4}du=-\frac{\cot^{5}}{5}\left.\begin{matrix} -1\\ 1 \end{matrix}\right|=\frac{2}{5}$
(*) - пределы интегрирования поменял, потому что $\cot(\frac{\pi}{4})=1;\cot(\frac{3\pi}{4})=-1$
Ну и дальше просто досчитываю:
$a^{2}(2-\frac{2}{5})=\frac{8a^{2}}{5}$
Вроде бы ничего не забыл (кроме ед^2, но её не пропускает; плюс некоторые проблемы с $\ctg$, пришлось писать $\cot$).

[alcoholist]

а почему никто не намекнул хотя бы товарищу, что разность четвертых степеней это просто косинус дойного угла, садисты?

[Someone]

А зачем? И так легко интегрируется.

XpucToc в сообщении #1193482 писал(а):

плюс некоторые проблемы с $\ctg$, пришлось писать $\cot$

Символ "\" перед ctg потеряли.