Среднее неЭйлеровых произведений

[Math_er]

Доброго времени суток!

В качестве примера, подводящего к моему вопросу, рассмотрим такое выражение:

$$\sum_{n\leqslant x}\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^s}\right),$$

где произведение идёт по простым делителям $n,\;\Re s>0$. Зададимся задачей найти асимптотику. Каждый здравомыслящий человек свернёт произведение в сумму, поменяет порядок суммирования, а потом получившийся ряд Дирихле разложит обратно в произведение по Эйлеру. В итоге мы получим $(1+o(1))\frac{x}{\zeta(s)}$. А умеет ли кто то находить такую асимптотику, не прибегая к смене порядка суммирования, работая именно с произведением (по видимому, с его средним) ?
Это становится актуальным, если произведение так просто не сворачивается в сумму. Например, если я хочу найти среднее (в понятно каком смысле)

$$\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^s}-\frac{\cos(p)}{p^{2s}}\right).$$

Существуют ли методы исследования асимптотики в таких случаях?

Спасибо.

[Math_er]

В асимптотике примера я описался. Там, разумеется, $(1+o(1))\frac{x}{\zeta(1+s)}$.

[ex-math]

Ну эти произведения -- они же мультипликативные функции. Записать производящий ряд и применять формулу Перрона.

-- 14.02.2017, 21:50 --

Для суммирования мультипликативных функций есть еще элементарные методы типа теоремы Вирзинга. Но я их не очень знаю, подойдут или нет. Комплексное интегрирование универсальней конечно.

[Math_er]

ex-math Да, спасибо за Ваш ответ. Уже сам понял, что такие произведения всегда представляются в виде суммы по делителям от мультипликативной функции.