2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Среднее неЭйлеровых произведений
Сообщение14.02.2017, 14:13 
Доброго времени суток!

В качестве примера, подводящего к моему вопросу, рассмотрим такое выражение:
$$\sum_{n\leqslant x}\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^s}\right),$$ где произведение идёт по простым делителям $n,\;\Re s>0$. Зададимся задачей найти асимптотику. Каждый здравомыслящий человек свернёт произведение в сумму, поменяет порядок суммирования, а потом получившийся ряд Дирихле разложит обратно в произведение по Эйлеру. В итоге мы получим $(1+o(1))\frac{x}{\zeta(s)}$. А умеет ли кто то находить такую асимптотику, не прибегая к смене порядка суммирования, работая именно с произведением (по видимому, с его средним) ?
Это становится актуальным, если произведение так просто не сворачивается в сумму. Например, если я хочу найти среднее (в понятно каком смысле) $$\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^s}-\frac{\cos(p)}{p^{2s}}\right).$$ Существуют ли методы исследования асимптотики в таких случаях?

Спасибо.

 
 
 
 Re: Среднее неЭйлеровых произведений
Сообщение14.02.2017, 18:14 
В асимптотике примера я описался. Там, разумеется, $(1+o(1))\frac{x}{\zeta(1+s)}$.

 
 
 
 Re: Среднее неЭйлеровых произведений
Сообщение14.02.2017, 21:48 
Аватара пользователя
Ну эти произведения -- они же мультипликативные функции. Записать производящий ряд и применять формулу Перрона.

-- 14.02.2017, 21:50 --

Для суммирования мультипликативных функций есть еще элементарные методы типа теоремы Вирзинга. Но я их не очень знаю, подойдут или нет. Комплексное интегрирование универсальней конечно.

 
 
 
 Re: Среднее неЭйлеровых произведений
Сообщение14.02.2017, 23:06 
ex-math Да, спасибо за Ваш ответ. Уже сам понял, что такие произведения всегда представляются в виде суммы по делителям от мультипликативной функции.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group