Тянем веревку

[fred1996]

Мальчик тянет длинную веревку большой длины $L$, держа ее конец на высоте $h$. Считаем $L>>h$
Определить длину провисающей части веревки, если к-т трения между веревкой и землей $\mu$

[DimaM]

У меня получилось $l\approx\sqrt{2\mu hL}$, а точный результат $l=\sqrt{h^2(\mu^2+1)+2\mu hL}-\mu h$.

[AnatolyBa]

Что-то похожее было здесь post1138580.html#p1138580

[fred1996]

DimaM в сообщении #1192618 писал(а):

У меня получилось $l\approx\sqrt{2\mu hL}$, а точный результат $l=\sqrt{h^2(\mu^2+1)+2\mu hL}-\mu h$.

У меня так же.
Кстати, эту задачу можно решить и без бесконечно малых.
У меня ее один восьмиклассник осилил.
И еще, можно ли оценить, при каком минимальном соотношеии $L/h$ это решение точное, то есть когда веревка не достаточно длинная ?

[EUgeneUS]

fred1996 в сообщении #1192679 писал(а):

У меня ее один восьмиклассник осилил.

План решения, который у меня сложился, требовал
1. Знание графика цепной линии.
2. Расчет координат центра масс для отрезка цепной линии.

Это решается без а) этих знаний (1), без навыков расчета ц.м. для кривой (2)?

[fred1996]

Цитата:

План решения, который у меня сложился, требовал
1. Знание графика цепной линии.
2. Расчет координат центра масс для отрезка цепной линии.

Это решается без а) этих знаний (1), без навыков расчета ц.м. для кривой (2)?

[/quote]

Ничего этого знать не требуется.
На самом деле есть довольно большое число задач на провисающие веревки, где используется физическая интуиция.
Надо будет порыться в моих олимпиадных архивах.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1192725 писал(а):

Это решается без а) этих знаний (1), без навыков расчета ц.м. для кривой (2)?

Без этого решается.
Я связал изменение силы натяжения вдоль провисающей части с изменением вертикальной координаты, а изменение силы натяжения выражается через силу трение и вес провисающей части.

[fred1996]

Пусть у нас есть провисающая веревка, закрепленная за оба конца.
Известна геометрия, то есть расстояние по вертикали и горизонтали.
Чтобы найти разность натяжения веревки у одного конца и у другого, достаточно соорудить наклонную плоскость между концами веревки и удлиннить ее прямым куском на этой плоскости. Если трения нет, то вся веревка все равно находится в равновесии.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1192820 писал(а):

Чтобы найти разность натяжения веревки у одного конца и у другого, достаточно соорудить наклонную плоскость между концами веревки и удлиннить ее прямым куском на этой плоскости. Если трения нет, то вся веревка все равно находится в равновесии.

Тут бы хорошо картинку, потому что словесное описание непонятно.

[fred1996]

А и В точки подвеса.
Они же образуют наклонную плоскость на которую положен дополнительный кусок веревки.
Трения нет.
Вся система в равновесии.

[DimaM]

fred1996
Теперь понятно, спасибо.

[dovlato]

А я не решил. Не интегралы же брать.. А, забыл, что здесь $L>>h$. Тогда да. А в общем случае не-а.

[fred1996]

dovlato в сообщении #1193310 писал(а):

А, забыл, что здесь $L>>h$.

Кто мне скажет, зачем это условие?

[dovlato]

fred1996 в сообщении #1193419 писал(а):

dovlato в сообщении #1193310 писал(а):

А, забыл, что здесь $L>>h$.

Кто мне скажет, зачем это условие?

Вашу идею я понял, но мне хотелось убедиться, что и дифференциалах сила натяжения нити в произвольной точке висящей части
есть линейная функция высоты этой точки. Убедился. Красиво.
Кстати, верёвка может лежать и на наклонной плоскости, и всё равно решится. Может вообще не лежать ни на чём, а висеть на двух гвоздях.

[fred1996]

dovlato писал(а):

А, забыл, что здесь $L>>h$.

Цитата:

Кто мне скажет, зачем это условие?

Цитата:

Вашу идею я понял, но мне хотелось убедиться, что и дифференциалах сила натяжения нити в произвольной точке висящей части
есть линейная функция высоты этой точки. Убедился. Красиво.
Кстати, верёвка может лежать и на наклонной плоскости, и всё равно решится. Может вообще не лежать ни на чём, а висеть на двух гвоздях.

Я просто прочитал условие и автоматом переписал сюда.
А теперь вот думаю, что условие $L>>h$ совершенно необязательно. Если веревка свисает на пол, то угол касания плоскости веревкой будет равен нулю в любом случае. Иначе получается, что к одной свободной точке приложены две непараллельные силы.
Так- же можно тянуть веревку в горку по наклонной плоскости и угол касания все-равно ноль. Опять имеем точное решеие для любых соотношениях длин.