Предкомпактность множества

[Icefield]

Не смог решить некоторые задачи, когда сдавал прошедшую сессию

Доказать, пользуясь критерием Арцела, что множество $A$ предкомпактно в пространстве $C[0,1]$, где
$A=\{ f\in C[0,1]/ f(1)\leqslant 7, |f'(x)|\leqslant 3 \forall x\in[0,1]\}$

Насколько я понял, для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$, а что делать с ограниченностью?

[Someone]

Icefield в сообщении #1192624 писал(а):

для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$

Для непрерывности достаточно просто факта существования производной на всём отрезке.
Или Вы имели в виду не просто непрерывность?

Icefield в сообщении #1192624 писал(а):

что делать с ограниченностью?

Как что? Доказывать.

А Вы точную формулировку критерия Арцела знаете?

[Icefield]

Someone в сообщении #1192625 писал(а):

Icefield в сообщении #1192624 писал(а):

для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$

Для непрерывности достаточно просто факта существования производной на всём отрезке.
Или Вы имели в виду не просто непрерывность?

Icefield в сообщении #1192624 писал(а):

что делать с ограниченностью?

Как что? Доказывать.

А Вы точную формулировку критерия Арцела знаете?

Арцел - равномерная ограниченность и равномерная непрерывность.
Производная существует и ограничена по модулю константой, значит есть равномерная непрерывность.
А вот ограниченность тут без единицы и только сверху, вот и интересуюсь как её доказывать.

[Someone]

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):

Арцел - равномерная ограниченность и равномерная непрерывность.

Нет, там не равномерная непрерывность. Там другое слово. Посмотрите в учебнике.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):

Производная существует и ограничена по модулю константой, значит есть равномерная непрерывность.

Любая функция, непрерывная на отрезке является равномерно непрерывной на этом отрезке. Производные тут вообще ни при чём.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):

А вот ограниченность тут без единицы и только сверху

Непонятное высказывание. Всякая функция, непрерывная на отрезке, является ограниченной на нём.
Но Вам ведь не ограниченность нужна, а равномерная ограниченность, и не функции, а семейства функций, которое у Вас обозначено буквой $A$.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):

вот и интересуюсь как её доказывать.

Ну, видимо, как-то из заданного условия на производную…

Icefield в сообщении #1192624 писал(а):

$A=\{ f\in C[0,1]/ f(1)\leqslant 7, |f'(x)|\leqslant 3 \forall x\in[0,1]\}$

Ой! А Вы условие правильно списали? Если всего лишь $f(1)\leqslant 7$, то никакой предкомпактности не будет, поскольку никакой равномерной ограниченности нет.

[popolznev]

Someone в сообщении #1192645 писал(а):

Ой! А Вы условие правильно списали? Если всего лишь $f(1)\leqslant 7$, то никакой предкомпактности не будет, поскольку никакой равномерной ограниченности нет.

А производная-то ограничена по модулю.

А, ой, тьфу-тьфу-тьфу, вы правы.