2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 13:03 
Не смог решить некоторые задачи, когда сдавал прошедшую сессию

Доказать, пользуясь критерием Арцела, что множество $A$ предкомпактно в пространстве $C[0,1]$, где
$A=\{ f\in C[0,1]/ f(1)\leqslant 7, |f'(x)|\leqslant 3 \forall x\in[0,1]\}$

Насколько я понял, для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$, а что делать с ограниченностью?

 
 
 
 Re: Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 13:19 
Аватара пользователя
Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$
Для непрерывности достаточно просто факта существования производной на всём отрезке.
Или Вы имели в виду не просто непрерывность?
Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
что делать с ограниченностью?
Как что? Доказывать.

А Вы точную формулировку критерия Арцела знаете?

 
 
 
 Re: Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 13:37 
Someone в сообщении #1192625 писал(а):
Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$
Для непрерывности достаточно просто факта существования производной на всём отрезке.
Или Вы имели в виду не просто непрерывность?
Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
что делать с ограниченностью?
Как что? Доказывать.

А Вы точную формулировку критерия Арцела знаете?


Арцел - равномерная ограниченность и равномерная непрерывность.
Производная существует и ограничена по модулю константой, значит есть равномерная непрерывность.
А вот ограниченность тут без единицы и только сверху, вот и интересуюсь как её доказывать.

 
 
 
 Re: Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 15:12 
Аватара пользователя
Icefield в сообщении #1192630 писал(а):
Арцел - равномерная ограниченность и равномерная непрерывность.
Нет, там не равномерная непрерывность. Там другое слово. Посмотрите в учебнике.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):
Производная существует и ограничена по модулю константой, значит есть равномерная непрерывность.
Любая функция, непрерывная на отрезке является равномерно непрерывной на этом отрезке. Производные тут вообще ни при чём.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):
А вот ограниченность тут без единицы и только сверху
Непонятное высказывание. Всякая функция, непрерывная на отрезке, является ограниченной на нём.
Но Вам ведь не ограниченность нужна, а равномерная ограниченность, и не функции, а семейства функций, которое у Вас обозначено буквой $A$.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):
вот и интересуюсь как её доказывать.
Ну, видимо, как-то из заданного условия на производную…

Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
$A=\{ f\in C[0,1]/ f(1)\leqslant 7, |f'(x)|\leqslant 3 \forall x\in[0,1]\}$
Ой! А Вы условие правильно списали? Если всего лишь $f(1)\leqslant 7$, то никакой предкомпактности не будет, поскольку никакой равномерной ограниченности нет.

 
 
 
 Re: Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 16:32 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #1192645 писал(а):
Ой! А Вы условие правильно списали? Если всего лишь $f(1)\leqslant 7$, то никакой предкомпактности не будет, поскольку никакой равномерной ограниченности нет.
А производная-то ограничена по модулю.

А, ой, тьфу-тьфу-тьфу, вы правы.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group