Условная вероятность

[Antonij]

Простой вопрос по условеой вероятности: верно ли, что
$P(B|A)=1-P(\overline{B}|A).$
Препод сказал, что нет. Но сейчас пытаюсь понять и все равно получается, что верно.
Например так:
$ P(B|A)+P(\overline{B}|A)=\frac{P(BA)+P(\overline{B}A)}{P(A)}=\frac{P(BA)+P(A\backslash B)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)}=1. $

Заранее спасибо.

[Someone]

Antonij в сообщении #1192306 писал(а):

верно ли, что
$P(B|A)=1-P(\overline{B}|A).$

Верно. Вообще, условная вероятность ничем не отличается от "обычной", которая на самом деле тоже условная, только условия учитываются при построении вероятностного пространства и в дальнейшем подразумеваются, а не указываются явно. В общем, любую формулу, которая верна для "обычной" вероятности, можно переписать в "условном" варианте.

[Antonij]

Спасибо. Просто препод профессор в этой области и был так уверен...

[Someone]

Но ваше доказательство неполное. Преобразовывать $\bar BA$ в $A\setminus B$, может быть, и не стоит, но объяснить, почему $\mathbf P(BA)+\mathbf P(\bar BA)=\mathbf P(BA+\bar BA)$, нужно.

[Antonij]

Я использовал формулу $P(B|A)=1-P(\overline{B}|A)$ при решении задачи, получил правильный ответ. Он сказал, что решение неверное, так как в общем случае это равенство не действует. И сейчас я просто для себя пытаюсь понять, когда оно не верно.

[mihaild]

Формально это неправда, если $P(A) = 0$ (в этом случае $P(B|A)$ просто не определено). Может быть, это имелось в виду?

[Antonij]

Нет. Он сказал, что в моём случае все получилось, лишь потому, что $\overline{B}\subset A$.
Я попробую с ним поговорить.

[Someone]

Antonij в сообщении #1192324 писал(а):

Я использовал формулу $P(B|A)=1-P(\overline{B}|A)$ при решении задачи, получил правильный ответ. Он сказал, что решение неверное, так как в общем случае это равенство не действует. И сейчас я просто для себя пытаюсь понять, когда оно не верно.

Оно действует всегда, когда условная вероятность имеет смысл, то есть, при $\mathbf P(A)>0$.

Antonij в сообщении #1192337 писал(а):

Он сказал, что в моём случае все получилось, лишь потому, что $\overline{B}\subset A$.

Доказательство ему предъявите. Только нужно объяснить, почему $\mathbf P(BA)+\mathbf P(\bar BA)=\mathbf P(BA+\bar BA)$, и что $BA+\bar BA=(B+\bar B)A=\Omega A=A$ (где $\Omega$ — достоверное событие).

[Antonij]

Да. Профессор сказал, что все верно. Просто думал о чем-то другом...

[Someone]

(Antonij)

Antonij в сообщении #1192377 писал(а):

Просто думал о чем-то другом...

Бывает.