Чуть больше рангов

[2old]

Легко видеть, что если $u^Tv\neq 0$, то матрица $vu^T$ имеет ранг $1$ и собственные числа $0$ кратностью $n-1$ и $u^Tv$ кратностью $1$ для вектора $v$. Захотел сделать такой же анализ для $$vu^T + uv^T$, но что-то застрял даже на доказательстве что ранг будет $2$. Как это сделать?

[Xaositect]

Тут как-то даже сложно подсказать без полного решения. Любой столбец будет линейной комбинацией $u$ и $v$.

-- Вс фев 12, 2017 21:26:29 --

Вообще, ранг матрицы $A$ - это минимальное число слагаемых в представлении $A = \sum_i u_i v^T_i$.

[2old]

Да, что-то затупил. Надо взять два вектор ортогональные один $u$, другой $v$ и получим размерность $\operatorname{Im}$ не меньше двух. Но она и не может быть больше, доказано. А как угадать собственные вектора?

[arseniiv]

А как насчёт разложения неизвестного вектора по $u,v$? (Ортогональную ей часть можно выкинуть сразу, понятно.)

[Евгений Машеров]

Не больше двух. Можно взять коллинеарные u, v.