2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Чуть больше рангов
Сообщение12.02.2017, 23:20 
Легко видеть, что если $u^Tv\neq 0$, то матрица $vu^T$ имеет ранг $1$ и собственные числа $0$ кратностью $n-1$ и $u^Tv$ кратностью $1$ для вектора $v$. Захотел сделать такой же анализ для $$vu^T + uv^T$, но что-то застрял даже на доказательстве что ранг будет $2$. Как это сделать?

 
 
 
 Re: Чуть больше рангов
Сообщение12.02.2017, 23:25 
Аватара пользователя
Тут как-то даже сложно подсказать без полного решения. Любой столбец будет линейной комбинацией $u$ и $v$.

-- Вс фев 12, 2017 21:26:29 --

Вообще, ранг матрицы $A$ - это минимальное число слагаемых в представлении $A = \sum_i u_i v^T_i$.

 
 
 
 Re: Чуть больше рангов
Сообщение13.02.2017, 00:04 
Да, что-то затупил. Надо взять два вектор ортогональные один $u$, другой $v$ и получим размерность $\operatorname{Im}$ не меньше двух. Но она и не может быть больше, доказано. А как угадать собственные вектора?

 
 
 
 Re: Чуть больше рангов
Сообщение13.02.2017, 00:45 
А как насчёт разложения неизвестного вектора по $u,v$? (Ортогональную ей часть можно выкинуть сразу, понятно.)

 
 
 
 Re: Чуть больше рангов
Сообщение13.02.2017, 10:40 
Аватара пользователя
Не больше двух. Можно взять коллинеарные u, v.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group