Начально-краевая задача для уравнения класса Трикоми

[krodd2]

Здравствуйте!
Посоветуйте литературу, в которой рассмотрено численное решение начально-краевой задачи уравнения класса Трикоми следующего вида:

$$\frac{\partial ^2u(x, y)}{\partial x^2} +(y-a)\frac{\partial^2 u(x, y)}{\partial y^2}=f(x, y)$$

$$u(x, 0) =\psi_1(x)$$

$$\frac{\partial u(x, y)}{\partial y} \big|_{y=0} = \psi_2(x)$$

$$u(0, y)=l(y)$$

$$u(L, y) = P(y)$$

$$u(x, M) = \psi_3(x)$$

[Red_Herring]

$a <0$ или $a>0$? в какой области рассматривается решение?

[krodd2]

Red_Herring в сообщении #1191520 писал(а):

$a <0$ или $a>0$? в какой области рассматривается решение?

Решение рассматривается в прямоугольнке $0\leqslant x\leqslant L$, $0\leqslant y\leqslant M$.
$a\in(0; M)$.

[Red_Herring]

Это не совсем Трикоми, и поэтому гораздо проще. Эта задача по-видимому хорошо поставлена.

При $y<a$ мы имеем смешанную задачу для гиперболического уравнения, вырождающегося при $y=0$. Более того, сделав замену $z=2\sqrt{|y-a|}$, мы получим "почти" колебания струны: $u_{xx}-u_{zz}-z^{-1}u_{z}=0$ я бы писал схему именного для него. Так мы получим $u|_{y=0}$.

А потом будет Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения, и я бы сделал замену $z=2\sqrt{y-a}$ перед написанием схемы.

[crazy_taxi_driver]

krodd2 Нашли литературу? Оставьте здесь ссылки, другим наверняка пригодится.

Я давно решал смешаные ур-ния (эллипт+гиперб) методом переменных направлений (ADI FDM). Для эллиптической части вводится время как в ур-нии теплопроводности, гиперболическая - хвостом к ней, как есть. Важно было разные шаги по времени делать - известно. Задача была физическая, математически на "хорошесть" не исследовал. Сходилось хорошо. (ссылки могу поискать, но они не те что Вам надо, и древние, из 60-70-х)

[Red_Herring]

crazy_taxi_driver в сообщении #1192024 писал(а):

математически на "хорошесть" не исследовал

Проблема в том, что о таких задачах немного чего известно. Классика: Бицатзе "Уравнения смешанного типа", 50+ летней давности, но с тех пор согласно тому что я знаю, мало чего изменилось. Классической является задача $u_{yy}+yu_{xx}=0$ при этом область при $y>0$ довольно произвольная (но условия есть, и на границе ставится условие Дирихле, пересечение с $y=0$ отрезок $[a,b]$, при $y<0$ она ограничена двумя сближающимися характеристиками, выходящими из $(a,0)$ и $(b,0)$ и на одной из них задано условие Дирихле. И дальше начинаются микрообобщения.