Проверка на устойчивость разностной схемы

[beginer]

Здравствуйте.
Всё-таки для общего развития попробую исследовать явную схему на устойчивость\неустойчивость.
Я знаю что эта схема неустойчива.
Но хочу это решить аналитически

Вот эта формула явной разностной схемы(которая уже мелькала во многих темах)
$\frac{{y}^{j+1}_{i} - {y}^{j}_{i}}{\tau }+ a \frac{{y}^{j}_{i+1} - {y}^{j}_{i}}{h }=0$

Взято из Самарского(с)
Подставляем частное решение гармонику $y^{j}_{i}=q ^{j}{\xi }^{i}$

И в итоге получается такой результат как я понял(Это судя по отрывку из книги)
$q = 1 + \gamma (1 - \xi ) = (1 + \gamma - \gamma \cos \varphi ) - i\gamma \sin \varphi$


А теперь вопросы:
1)Что нужно выражать чтобы прийти к этому результату,это же тоже уравнение и что-то нужно выразить.
2)Какие разделы математики я должен повторить\вспомнить чтобы начать решать такое уравнение?

[Pphantom]

beginer в сообщении #1191783 писал(а):

Подставляем частное решение гармонику $y^{j}_{i}=q ^{j}{\xi }^{i}$

Самый первый общий вопрос - в каком смысле это гармоника?

beginer в сообщении #1191783 писал(а):

Какие разделы математики я должен повторить\вспомнить чтобы начать решать такое уравнение?

Хорошо бы еще знать, что Вы, как предполагается, знаете...

[beginer]

1)Как я понял из учебника метод гармоник позволяет узнать устойчива схема или неустойчива.
А сама гармоника это частное решение,которое нужно подставить для дальнейшего решения.
Подставляя это значение в уравнение я смогу начать решать(исследовать его на устойчивость\неустойчивость)

2)По поводу чего знал но местами нужно вспомнить.
Если вспомнить студенческие годы то 1 год математического анализа(пределы,логарифы),Ряд Тейлора,Ряд Фурье был но не в математическом анализе(В Цифровой обработке сигналов),уравнение математической физики(задача Дирихле,Пуассона),методы вычислений(Эйлер,Рунге-Кутт,хорд,секущие,метод трапеций,метод прямоугольников).
В общем изучал много,нужно вспомнить и достать старые тетради.

[Pphantom]

beginer в сообщении #1191789 писал(а):

1)Как я понял из учебника метод гармоник позволяет узнать устойчива схема или неустойчива.
А сама гармоника это частное решение,которое нужно подставить для дальнейшего решения.
Подставляя это значение в уравнение я смогу начать решать(исследовать его на устойчивость\неустойчивость)

Это все примерно правильно, но ни в коей мере не является ответом на вопрос, почему это - гармоника.

beginer в сообщении #1191789 писал(а):

Если вспомнить студенческие годы то 1 год математического анализа(пределы,логарифы),Ряд Тейлора,Ряд Фурье был но не в математическом анализе(В Цифровой обработке сигналов),уравнение математической физики(задача Дирихле,Пуассона),методы вычислений(Эйлер,Рунге-Кутт,хорд,секущие,метод трапеций,метод прямоугольников).

По идее, все необходимое Вы должны знать. Стало быть, очень прочно забыли.

[beginer]

Я долго не занимался и поэтому всё забыл.
Вот поэтому я и интересуюсь какой раздел математики\какие разделы математики мне нужно вспоминать чтобы решить своё задание..

А что касаемо гармоники
Если вспоминать ЦОС,то гармоника это некоторая точка или координата где возможно какое либо изменение(скачок импульса например или его убывание)

[Red_Herring]

beginer
С самого начала: а что такое $\gamma$? И почему Вы вдруг решили, что схема неустойчива? Какой критерий использовали?

[Pphantom]

beginer в сообщении #1191823 писал(а):

Вот поэтому я и интересуюсь какой раздел математики\какие разделы математики мне нужно вспоминать чтобы решить своё задание..

Ну что ж... Памятуя предыдущую историю - школьную алгебру и начала матанализа. Потом собственно матанализ, дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных (оно же "уравнения матфизики", оно же просто "матфизика", соответствующие курсы в разных местах именуются по-разному), методы вычислений.

beginer в сообщении #1191823 писал(а):

Если вспоминать ЦОС,то гармоника это некоторая точка или координата где возможно какое либо изменение(скачок импульса например или его убывание)

Не попали. Вот, собственно, и начните копать с выяснения того, почему это так называется и что, собственно, скрывается за этими буковками.

[beginer]

Red_Herring
Гамма это число Куранта $\gamma=\frac{a \cdot t}{h}$

Ответ будет прост,в книге написано.Но я всё равно буду аналитически решать.

-- 11.02.2017, 22:20 --

Pphantom в сообщении #1191826 писал(а):

beginer в сообщении #1191823 писал(а):

Вот поэтому я и интересуюсь какой раздел математики\какие разделы математики мне нужно вспоминать чтобы решить своё задание..

Ну что ж... Памятуя предыдущую историю - школьную алгебру и начала матанализа. Потом собственно матанализ, дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных (оно же "уравнения матфизики", оно же просто "матфизика", соответствующие курсы в разных местах именуются по-разному), методы вычислений

Понял, я не так задал свой вопрос
Какие разделы дифференциальных уравнений в частных производных мне помогут?1-ого порядка или 2-ого?
И какой раздел вспоминать в математическом анализе?
Так я смогу сориентироваться и прорешать\вспомнить соответствующие разделы и решить свою проблему.

[Pphantom]

beginer в сообщении #1191836 писал(а):

Какие разделы дифференциальных уравнений в частных производных мне помогут?1-ого порядка или 2-ого?

Пожалуй, тут скорее общая теория. С матанализом аналогично, я не очень представляю, как можно вырезать какой-то определенный кусочек.

[beginer]

В мат.анализе как и в дифференциальных уравнениях всё связано и поэтому трудно вырезать кусочек.Я вас понимаю.
Так как чтобы решить одно уравнение,нужно помнить другое,которое в свою очередь зависит от чего-то ещё.

Пожалуйста скажите те разделы которые необходимы для решения моей проблемы что в дифференциальных,что в мат.анализе.
А общая теория будет повторена как и те разделы,без которых "определённый кусочек" не может существовать

[Red_Herring]

beginer в сообщении #1191836 писал(а):

Гамма это число Куранта $\gamma=\frac{a \cdot t}{h}$

Ответ будет прост,в книге написано.Но я всё равно буду аналитически решать.

Мне ответ известен и без "книги". Но если вы хотите помощи, ответьте на вопрос о критерии

[beginer]

Red_Herring в сообщении #1191870 писал(а):

beginer в сообщении #1191836 писал(а):

Гамма это число Куранта $\gamma=\frac{a \cdot t}{h}$

Ответ будет прост,в книге написано.Но я всё равно буду аналитически решать.

Мне ответ известен и без "книги". Но если вы хотите помощи, ответьте на вопрос о критерии

Критерий Куранта.
Просто в данный момент я хочу аналитически решить вручную и проанализировать устойчива схема или нет.

[Red_Herring]

beginer в сообщении #1191875 писал(а):

Критерий Куранта.

Подробнее, в чём он заключается? Слова-то Вы знаете.

[beginer]

Наконец-то нашлось время и я попытался его решить
Итак дано уравнение

$\frac{{{y}_{i}}^{j+1}-{{y}_{i}}^{j}}{\tau }-a\frac{{{y}_{i+1}}^{j}-{{y}_{i}}^{j}}{h}=0$

подставляю
{{y}_{i}}^{j}={{q}^{j}}\xi ^{i}

Получается такое уравнение

$\frac{{{q}^{j+1}}\xi ^{i}-{{q}^{j}}\xi ^{i}}{\tau }-a\frac{{{q}^{j}}\xi ^{i+1}-{{q}^{j}}\xi ^{i}}{h}=0$

Упрощаем данное уравнение с помощью ${{q}^{j}}\xi ^{i}$
Полученное уравнение

$\frac{q-1}{\tau }-a\frac{\xi ^{i}-1}{h}=0$

Преобразуем в тригонометрическую форму с помощью формулы Эйлера

$\frac{q-1}{\tau }-a\frac{\cos x + i \sin x-1}{h}=0$

Далее будет уже работа с тригонометрическими тождествами но в данный момент мне вот что интересно.
Правильно ли я решил эту часть?

Так как лучше сейчас проверить на ошибки чем потом обнаружить их в самом конце.

[beginer]

Оказалось неправильным и поэтому начинаю сначала
Естественно метод гармоник решён не до конца пока что(так как есть вероятность ошибки)

$\frac{{{y}_{k}}^{j+1}-{{y}_{k}}^{j}}{\tau}-a\frac{{{y}_{k+1}}^{j}-{{y}_{k}}^{j}}{h}=0$

Полученное линейное разностное уравнение

{{y}_{k}}^{j+1}=\frac{ -a \tau {{y}_{k+1}}^{j} + a \tau {{y}_{k}^{j}} }{ h } + {{y}_{k}^{j}}

Учитывая, что $\frac{ a \tau }{ h } = \gamma$ - Число Куранта то уравнение имеет следующий вид

{{y}_{k}}^{j+1}=-\gamma {{y}_{k+1}}^{j} + \gamma {{y}_{k}^{j}} + {{y}_{k}^{j}}

Применяем метод гармоник где {y}_{k}^{j} = \lambda ^{j} e^{ik \varphi }

Уравнение имеет следующий вид
\lambda = - \gamma e^{ik \varphi}+ \gamma + 1
Выносим за скобки \gamma , получаем
\lambda = - \gamma (e^{ik \varphi}+ 1) + 1 , где e^{ik \varphi}= \cos{\varphi} + i \sin{\varphi} (Формула Эйлера)
\lambda = - \gamma(\cos{\varphi}+ i \sin{\varphi}+ 1) +1
\lambda = 1+ 1 - \cos{\varphi}\gamma - i \sin{\varphi}\gamma