У Вацлава Серпинского тема упомянута. 61-я станица из 61-го года:
Весьма трудной задачей, как полагает Л. Ю. Морделл, является вопрос, имеет ли уравнение
другие решения в целых числах
кроме решений (1, 1, 1) (4, 4, —5).
Легко доказать, что уравнение
имеет бесконечное множество решений в целых числах
Это следует, например, из тождества
для
.
Также и уравнение
имеет бесконечное множество решений в целых числах
что вытекает из тождества
Недавно были найдены все решения уравнения
для целых
, с абсолютной величиной
, в целых числах
с абсолютной величиной
*).
Мы не знаем, имеет ли уравнение
хотя бы одно решение в целых числах
Нетрудно доказать, что уравнение
имеет бесконечное множество решений в различных натуральных числах
Доказательство вытекает из тождества
Например, для
получаем
Таким образом, здесь имеем также решение уравнения
в натуральных числах
Имеем также общее тождество
которое получаем из предыдущего заменой
числом
и умножением затем обеих частей на
. Отсюда для
,
получаем
Имеет место также тождество Раманужана
Таким образом, например, для
,
имеем
*) Ю. Ц. П. Миллер и М. Ф. Ц. В у л л е т т, Journal of
London Math. Soc, 30, стр. 101—110, 1955.