Top-10/5 в математике

[grizzly]

Обзор достижений за 5 лет от одного из популяризаторов математики.

Я создал отдельную тему главным образом ради вот этого:

Этим, оказывается, можно непериодически замостить плоскость (см. также наглядность в wiki и немного по истории вопроса). Проблема долгое время оставалась открытой и вот нашла умопомрачительное решение. Я стараюсь следить за основными событиями в математике на доступном мне уровне, а эту новость как-то пропустил. Надеюсь, что ещё кому-то будет любопытно.

Но там ещё есть интересные вещи.

[grizzly]

Любопытная новость про замощение плоскости выпуклыми пятиугольниками. Найдено ещё одно -- пятнадцатое:



Думаю, здесь как раз уместно упомянуть (не то чтоб топ, но некая преемственность картинок имеется -- надеюсь, это не последняя :)

[grizzly]

UPD от 16.05.2016: Я отредактировал это сообщение, в котором содержалась критика обозревателей на Lenta.ru. На Ленте давно дали обновлённую версию новости после чего моя критика выглядит неуместной. Ниже оставил только ссылки и цитаты из своего сообщения.

Цитата из статьи Guardian:

Guardian про учёных-домохозяек писал(а):

That same year an unlikely mathematical pioneer entered the fray: Marjorie Rice, a San Diego housewife in her 50s, who had read about James’ discovery in Scientific American. An amateur mathematician, Rice developed her own notation and method and over the next few years discovered another four types of pentagon that tile the plane. In 1985 Rolf Stein found a fourteenth. Way to go!

Здесь можно посмотреть информацию из первых рук.

[мат-ламер]

grizzly в сообщении #1030335 писал(а):

Но там ещё есть интересные вещи.

Я не понял. Мошизуку, что, доказал ABC-гипотезу? Прокомментируйте пожалуйста.

[grizzly]

мат-ламер в сообщении #1044999 писал(а):

Я не понял. Мошизуку, что, доказал ABC-гипотезу? Прокомментируйте пожалуйста.

Несколько лет назад он, скажем так, объявил о своём доказательстве и выложил его в открытый доступ, без всяких там игр с публикациями. Ошибок там серьёзных не нашли (какие-то мелочи были на ходу исправлены), но и разобраться в его теориях пока никто не смог толком. Если бы не авторитет автора -- мир точно проигнорировал бы. Посмотрите в сети -- это очень нашумевшая история.

О своей теории и дальнейшем развитии он ежегодно публикует отчёты, подобные этому (оно тоже довольно интересно, даже без необходимого мат.понимания).

[alphavector]

grizzly в сообщении #1044960 писал(а):

е обязаны были в детстве читать Мартина Гарднера (а во взрослом возрасте такое сложно наверстать

А почему сложно? Это не праздный вопрос, правда интересно откуда такое мнение присутствующее у многих умных людей которым повезло попасть в нужную среду в детстве. В смысле, что необходимым условием формирования математической культуры является ранний старт. ИМХО некоторые книги Гарднера так и вовсе сложны для неокрепших умов.

[grizzly]

alphavector в сообщении #1045156 писал(а):

А почему сложно?

Я про другие сложности -- когда лень или пускай даже мильон самых уважительных причин.
А так ведь наоборот -- я бы хотел (и, надеюсь, Вы меня поняли), чтобы упоминание о прорыве в математике, сделанном американской домохозяйкой 50+ лет с минимальной мат.подготовкой, достигла аудитории Lenta.ru, а не только dxdy (здесь оно мало кому нужно). И ведь как раз благодаря чтению Гарднера :)

[grizzly]

Появился ещё один свежий результат, который по самым разным параметрам достоин упоминания в этой теме. Речь идёт об одной из самых старых гипотез Эрдёша, которую буквально на днях доказал Теренс Тао.

Приведу в двух словах формулировку и несколько ссылок.

Утверждение.
Пусть $f\colon {\mathbb N} \to \{-1,+1\}$. Тогда

$$ \sup_{n,d \in {\mathbb N}} \Bigg|\sum_{j=1}^n f(jd)\Bigg|=+\infty $$

Результат примечателен тем, что он во многом обязан проекту PolyMath -- организованная на движке вики коллективная работа математиков. Формат в этом плане намного круче MathOF, хотя и цели у него другие, конечно. Существование этого проекта прошло ранее мимо моего внимания / памяти.
Ещё ссылка на Ленту, с классной фоткой (жаль только, что там не отличают арифметическую прогрессию от произвольной подпоследовательности -- в итоге их пояснение формулировки не способно пройти барьер правдоподобия даже для первокурсника ВУЗа).
Собственно статья Тао с обобщениями. У него всё как обычно настолько хорошо написано, что интересно читать даже при весьма посредственном владении языком и математикой.

[grizzly]

Добавлю в эту ленту интересную новость (с подачи Red_Herring).

Речь идёт о проблеме плотной упаковки шаров в пространствах разных размерностей. Для большинства размерностей эта задача оказывается довольно сложной и удаётся получить только оценки (даже для $\mathbb R^3$ всё было совсем не просто), но вот буквально на днях вопрос был закрыт для двух размерностей: 8 и 24, в которых ситуация оказывается намного проще, чем для других размерностей. По ссылке выше можно найти историю вопроса и нужные статьи на Архиве.

[grizzly]

Сделаю небольшой комментарий к последней новости по-русски с ссылками (здесь нет ничего первоапрельского).

В двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является гексагональная упаковка. Первым это установил Лагранж в 1773, доказав, что это самая плотная решётка (регулярное заполнение). Окончательно вопрос закрыл (включая нерегулярные упаковки) в 1940-м венгерский математик László Fejes Tóth.

Для трёхмерного пространства очевидная гипотеза носит название Гипотезы Кеплера и она была положительно закрыта в 1998-м (компьютерное доказательство предоставил американский математик Томас Хейлс).

По поводу пространств больших размерностей теперь особенно интересно вспомнить статью из "В мире науки". Там как раз о размерностях 8 и 24, и рассказывается о важности задачи для приложений. На днях коллектив авторов решил проблему для этих размерностей. В случае размерности 8 результат получен украинским математиком Мариной Вязовской, для размерности 24 -- коллективом авторов с ней в том числе.

Любопытства ради я обратил внимание, что первые два автора последней статьи являются весьма активными участниками сообщества Math.Overflow, а Даниил Радченко ещё лет 10 тому имел очень высокие рейтинги в международных математических олимпиадах. (Эти факты я привёл не случайно -- регулярно слышу какие-то глупые мифы по этому поводу.)

[grizzly]

Я только что узнал о замечательном достижении, которые было получено в прошлом году. Не знаю, как насчёт большой математики, но в популярной теме его стоит упомянуть.

Вопрос о существовании решений в целых числах $x,y,z$ следующего уравнения (при некотором фиксированном натуральном $k$):

$$ x^3+y^3+z^3=k. $$

Для различных $k$ сотни лет идёт активная работа по поиску решений (случай $k=\pm 4 \pmod 9$ не рассматриваем -- он тривиально имеет отрицательный ответ). Не доказано и не опровергнуто существование решений для всех других $k$. Среди первой тысячи на начало прошлого года оставалось только 14 таких $k$, для которых решение не было найдено. Из них в первой сотне -- 3 числа: 33, 42 и 74.

В этой статье приводится множество новых решений для уже известных случаев, а также одно совсем новое -- для $k=74$.

$$74=(-284650292555885)^3+66229832190556^3+283450105697727^3.$$

[grizzly]

Расскажу здесь ещё об одной удивительной гипотезе, которая была частично доказана в начале этого века. В этой истории много удивительного: и простота формулировки, и то, как долго задача вообще не поддавалась решению, и даже то, что она до сих пор не решена в общем случае. Меня удивляет ещё и тот факт, что эта знаменитая в математических кругах гипотеза ранее прошла мимо моего образования / сознания.

Ниже я формулирую всё для случая на плоскости (для упрощения формулировок и поскольку только этот случай полностью доказан), а сама гипотеза формулируется для пространств произвольной размерности (есть обобщения ещё и для неевклидовых пространств).

Рассмотрим несколько кругов на плоскости $B(p_i,r_i)$. Здесь $p_i$ -- центры, $r_i$ -- радиусы. А теперь разложим на плоскости те же круги так, чтобы соответствующие попарные расстояния между центрами не уменьшились. Получим круги с новыми центрами: $B(q_i,r_i).$
Гипотеза (Kneser–Poulsen): Площадь объединения полученной конфигурации не уменьшится, а пересечения -- не увеличится:

$$ S \left[\bigcup_{i=1}^N B(p_i, r_i)\right] \le S \left[\bigcup_{i=1}^N B(q_i, r_i)\right]; \qquad S \left[\bigcap_{i=1}^N B(p_i, r_i)\right] \ge S \left[\bigcap_{i=1}^N B(q_i, r_i)\right]. $$

Эта гипотеза была сформулирована в общем случае (для пространства произвольной размерности) в середине прошлого века независимо двумя математиками (Poulsen and Kneser). Не прошло и полвека, как говорится, хотя она и выглядит совершенно очевидной. В более высоких размерностях всё ещё идёт работа (пока над частными случаями).
Некоторые подробности по истории вопроса и более строгие формулировки можно найти здесь.

[Andrey A]

grizzly в сообщении #1185996 писал(а):

$$x^3+y^3+z^3=k.$$

У Вацлава Серпинского тема упомянута. 61-я станица из 61-го года:

Весьма трудной задачей, как полагает Л. Ю. Морделл, является вопрос, имеет ли уравнение $x^3+y^3+z^3=3$ другие решения в целых числах $x, y, z,$ кроме решений (1, 1, 1) (4, 4, —5).

Легко доказать, что уравнение $x^3+y^3+z^3=1$ имеет бесконечное множество решений в целых числах $x, y, z.$ Это следует, например, из тождества

$$(9n^4)^3+(1-9n^3)^3+(3n-9n^4)^3=1$$

для $n=1,2, ... $.

Также и уравнение $x^3+y^3+z^3=2$ имеет бесконечное множество решений в целых числах $x, y, z,$ что вытекает из тождества

$$(1+6n^3)^3+(1-6n^3)^3+(-6n^2)^3=2$$

Недавно были найдены все решения уравнения $x^3+y^3+z^3=k$ для целых $k$, с абсолютной величиной $\leq 100$, в целых числах $x, y, z,$ с абсолютной величиной $\leq 3164$ *).

Мы не знаем, имеет ли уравнение $x^3+y^3+z^3=30$ хотя бы одно решение в целых числах $x, y, z.$

Нетрудно доказать, что уравнение $x^3+y^3+z^3=t^2$ имеет бесконечное множество решений в различных натуральных числах $x, y, z, t.$ Доказательство вытекает из тождества

$$(u^4+2u)^3+(2u^3+1)^3+(3u^2)^3=(u^6+7u^3+1)^2.$$

Например, для $u=2$ получаем $20^3+17^3+12^3=121^2=11^4. $ Таким образом, здесь имеем также решение уравнения $x^3+y^3+z^3=w^4$ в натуральных числах $x, y, z, w.$

Имеем также общее тождество

$$(u^4+2uv^3)^3+(2vu^3+v^4)^3+(3u^2v^2)^3=(u^6+7u^3v^3+v^6)^2,$$

которое получаем из предыдущего заменой $u$ числом $\frac{u}{v}$ и умножением затем обеих частей на $v^{12}$. Отсюда для $u=5$, $v=2$ получаем $705^3+516^3+300^3=22689^2.$

Имеет место также тождество Раманужана

$$(3u^2+5uv-5v^2)^3+(4u^2-4uv+6v^2)^3+(5u^2-5uv-3v^2)^3=(6u^2-4uv+4v^2)^3.$$

Таким образом, например, для $u=1$, $v=0$ имеем $3^3+4^3+5^3=6^3$


*) Ю. Ц. П. Миллер и М. Ф. Ц. В у л л е т т, Journal of
London Math. Soc, 30, стр. 101—110, 1955.

[grizzly]

Andrey A
Спасибо, интересно посмотреть на то же взглядом из глубины веков

Но предлагаю освежить ситуацию для полноты картины:

Andrey A в сообщении #1191335 писал(а):

Весьма трудной задачей, как полагает Л. Ю. Морделл, является вопрос, имеет ли уравнение $x^3+y^3+z^3=3$ другие решения в целых числах $x, y, z,$ кроме решений (1, 1, 1) (4, 4, —5).

На сегодня новые решения так и не были найдены.

Andrey A в сообщении #1191335 писал(а):

Мы не знаем, имеет ли уравнение $x^3+y^3+z^3=30$ хотя бы одно решение в целых числах $x, y, z.$

Лёд тронулся: первое решение было найдено в 2000 г., потом ещё 2. Но ещё в 1992 без предъявления конкретных решений была предсказана их плотность (не поручусь точно, что это значит -- оригинал не изучал, цитирую по этой работе). Последнее показательно в том плане, что вопросы изучаются не только в плоскости соревнования вычислительных алгоритмов.

[vicvolf]

grizzly

Цитата:

Andrey A в сообщении #1191335 писал(а):

Мы не знаем, имеет ли уравнение $x^3+y^3+z^3=30$ хотя бы одно решение в целых числах $x, y, z.$

Лёд тронулся: первое решение было найдено в 2000 г., потом ещё 2. Но ещё в 1992 без предъявления конкретных решений была предсказана их плотность (не поручусь точно, что это значит -- оригинал не изучал, цитирую по этой работе). Последнее показательно в том плане, что вопросы изучаются не только в плоскости соревнования вычислительных алгоритмов.

Данная проблема тесно связана с проблемой Варинга, т.е. найти такое минимальное $S(k)$, при котором уравнение:
$x_1^k+...+x_s^k=N$ (1) ( $N$ - натуральное число) имеет хотя бы одно решение в неотрицательных целых числах.
И.М. Виноградов, применив свой метод тригонометрических сумм к (1) показал, что при больших $N$ значение $S$ примерно равно $k\ln(k)$ (2).
Таким образом, а основании (2) при $k=3$ получаем $S>3$, поэтому уравнение: $x_1^3+x_2^3+x_3^3=N$ (3) не имеет целых неотрицательных решений при всех $N$.
Действительно, в работе http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss/Elkies.pdf говорится, что уравнение (3) не имеет целых решений, если $N$ равно значению 4 или 5 по модулю 9.
Оценка плотности решений данных уравнений при $N=3,30$ в работе http://eprints.maths.ox.ac.uk/156/1/wa.pdf производится сверху при условии, что решение данного уравнения существует. Данная оценка ничего не дает для определения наличия решений уравнения. Для этого требуется, чтобы оценка плотности решений уравнения проводилась снизу и была ненулевой. Тогда с помощью алгоритмов перебора можно искать решения. Поэтому от эффективности этих алгоритмов по-прежнему многое зависит.