Прохождение света через стопку стеклянных пластинок

[fred1996]

Пуст у нас есть достаточно толстая (пренебрегаем интерференцией) стеклянная пластинка с общим к-том прохождения ${T}$ и к-том поглощения ${R}$. Соответственно к-т отражеия будет ${1-R-T}$. Найти общий к-т прохождения и поглощения, ну и отражения для N пластинок, соединенных, но не плотно вместе. Опять интерференцию не учитываем.

[mihiv]

Пусть $K=1-T-R$ -коэффициент отражения одной пластинки. Тогда коэффициент отражения бесконечной стопки равен:

$$K_{\infty }=\dfrac {1+K^2-T^2-\sqrt {(1+K^2-T^2)^2-4K^2}}{2K}$$

Для $K_n$ получается рекуррентное соотношение.

[fred1996]

Ну хорошо, а если поглощения нет, можете $K_n$ сосчитать?

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1183502 писал(а):

пренебрегаем интерференцией

Это условие, вообще, физично?

[fred1996]

realeugene в сообщении #1190464 писал(а):

fred1996 в сообщении #1183502 писал(а):

пренебрегаем интерференцией

Это условие, вообще, физично?

Для обычного некогерентного источника света и стеклянных пластин обычной тольщины, если их не прижимать плотно, интерференция исчезает быстро. То есть если только плотно прижать две достаточно гладкие пластинки, появятся интерференционные узоры.
Для лазерного излучения и абсолютно ровных поверхностей интерференция, насколько мне известно, может наблюдаться даже на нескольких метрах толщины. Так что все вполне физично. Глядя через обычное оконное стекло на улицу, вы не увидите никаких интерференционных явлений. А вот в стеклопакетах они вполне возможны.

[mihiv]

Рекуррентная формула (получается с учетом многократных отражений) имеет вид: $K_{n+1}=K+\dfrac {T^2K_n}{1-KK_n}$. Если потерь нет, то $T=1-K$. С помощью Wolphram'а я посчитал $K_n$ по рекуррентной формуле для частного случая $K=0.1$ и сильно удивился, когда он выдал точное решение. Оказывается: $K_n=\dfrac n{n+\frac {1-K}K}$.

[fred1996]

mihiv в сообщении #1190643 писал(а):

Рекуррентная формула (получается с учетом многократных отражений) имеет вид: $K_{n+1}=K+\dfrac {T^2K_n}{1-KK_n}$. Если потерь нет, то $T=1-K$. С помощью Wolphram'а я посчитал $K_n$ по рекуррентной формуле для частного случая $K=0.1$ и сильно удивился, когда он выдал точное решение. Оказывается: $K_n=\dfrac n{n+\frac {1-K}K}$.

Это потому, что вы не включили математическую интуицию.
Посмотрите на рекуррентную формулу попристальнее.
Математики моментально выдают точный ответ.

[mihiv]

При учете поглощения коэффициент отражения равен:

$$K_n=\dfrac {1-a^n}{\frac 1{K_{\infty }}-K_{\infty }a^n}, a=\dfrac {1-\frac K{K_{\infty }}}{1-KK_{\infty }}$$

[fred1996]

mihiv в сообщении #1190957 писал(а):

При учете поглощения коэффициент отражения равен:

$$K_n=\dfrac {1-a^n}{\frac 1{K_{\infty }}-K_{\infty }a^n}, a=\dfrac {1-\frac K{K_{\infty }}}{1-KK_{\infty }}$$

А если поглощения нет, то у вас получается неопределенность.
Ведь $K_\infty=1$ и $a=1$

[mihiv]

Найдем предел $K_n$ при $K_{\infty }\to 1$, имея в виду, что $a=a(K_{\infty })$. Пролопиталим: $$\lim \limits _{K_{\infty }\to 1}K_n=\lim \limits _{K_{\infty }\to 1}\dfrac {na^{n-1}a'}{\frac 1{K_{\infty }^2}+a^n+nK_{\infty }a'}=\dfrac n{n+\frac {1-K}K},$$$(\lim \limits _{K_{\infty }\to 1}a'(K_{\infty })=\dfrac {2K}{1-K})$

[fred1996]

Ну хорошо.
К-т отражения бесконеченой стопки достаточно просто сосчитать независимо от того, есть ли там поглощения или нет.
Я знал решение для $N$ пластин без поглощения, которое проще получить, если составить рекуррентное соотношение для к-та прохождения, а не отражения.
Поглощение я добавил в тайной надежде, что кто-нибудь решит задачу в общем виде.
Вы дали ответ, теперь я в затруднении.
А вы вообще сами решили, или опять воспользовались шпаргалкой?
Если эта задача действительно имеет такое решение, я более чем доволен.
Осталось понять откуда оно.

[mihiv]

Тут все сводится к решению нелинейного разностного уравнения:

$$K_{n+1}=K+\dfrac {T^2K_n}{1-KK_n}\qquad (1)$$

Я предположил, что решение имеет вид: $K_n=\dfrac {1-a^n}{p-sa^n}$, где постоянные $a, p, s$ нужно определить так, чтобы выполнялось уравнение (1). В результате получилась система уравнений для определения $a, p, s$. Оказалось, что $p, s$ - корни одного и того же квадратного уравнения, корнем этого же уравнения является $K_{\infty }$. Что касается вида решения уравнения (1), то на него меня навели несколько численных расчетов $K_n$ с помощью Вольфрама..

[fred1996]

Ага.
Понятно.
Без Вольфрама можно просто написать рекуррентную формулу для к-та прохождения.
Тогда рекурсия становится прозрачной для величин, обратных к-там пропускания.
Это без поглощения конечно.

Ну что ж, можно сказать, совместными усилиями (в основном вашими), мы соорудили красивую задачку.
Наверное для физической олимпиады она трудновата. А вот математики в этих вопросах более ушлые. Могут за ограниченное время и справиться.