Гильбертово и предгильбертово пространства -- пополнение

[Neinstein]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться, с полнотой пространства.

Цитата:

Если пополнить пространство $\widetilde{L}_2 [a,b]$, то мы получим гильбертово пространство ${L}_2 [a,b]$

$\widetilde{L}_2 [a,b] -- пространство функций, непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций, где для любых функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ задано скалярное произведение

$\int_{a}^{b}y_1(x) y_2(x) dx$

а норма определена как

$||y|| = \Bigr( \int_{a}^{b}y^2(x) dx \Bigl)^\frac{1}{2}$

Что означает фраза "пополнить пространство"? Чем его пополнить?

Само определение полноты вроде бы понятно -- это значит, что в данном пространстве любая фундаментальная последовательность сходится. Но операция "пополнения" непонятна...

Спасибо!

[ewert]

Neinstein в сообщении #1190538 писал(а):

операция "пополнения" непонятна...

Элементами пополнения являются классы эквивалентности фундаментальных последовательностей (две такие последователности эквивалентны, если расстояния между элементами одной и элементами другой стремится к нулю).

Конечно, после этого следует корректно определить на классах линейные операции и скалярное произведение.

И желательно ещё описать это пополнение конструктивно. В данном случае оно сводится к расширению понятия интегрируемости по Риману до интегрируемости по Лебегу.

[mihailm]

Neinstein в сообщении #1190538 писал(а):

...Что означает фраза "пополнить пространство"? Чем его пополнить?...

Ищете где нить "пополнение метрического пространства" и изучаете вопрос.

[Henrylee]

Neinstein в сообщении #1190538 писал(а):

Что означает фраза "пополнить пространство"? Чем его пополнить?

Берём пучок фундаментальных последовательностей, которые никуда не сходятся в нашем пространстве (т.е. Ни к какой непрерывной функции), но сближаются (попарно, понятно в каком смысле). Этот пучок мы и ассоциируем с новой точкой-функцией, которой пополняем пространство. Берём другой такой пучок ... и т.д.

[Neinstein]

ewert,
Henrylee,

могли бы вы привести совсем простой пример пополнения пространства? Любого. Или какую-нибудь книгу, где данный вопрос освещён, возможно, даже популярно, чтобы образ в голове отложился.

[popolznev]

Neinstein в сообщении #1191013 писал(а):

ewert,
Henrylee,
могли бы вы привести совсем простой пример пополнения пространства?

Хоть я не Ewert и не Henrylee, но высшее образование вам даду пример приведу. Представьте себе, что мы знаем только дроби, то есть рациональные числа. Потом бац - оказывается, что это множество дырявое: например, диагональ квадрата со стороной 1 не выражается рациональным числом. И тогда мы пополняем наше множество чисел, вводя новые числа (иррациональные) - мы как бы замазываем дырки.

(Математически эта дырявость, или неполнота множества рациональных чисел выражается тем, что не все фундаментальные последовательности в нём сходятся - и мы добавляем к множеству пределы всех расходящихся фундаментальных последовательностей, причем эти пределы мы берём как бы ниоткуда, из воздуха).

[ewert]

popolznev в сообщении #1191027 писал(а):

и мы добавляем к множеству пределы всех расходящихся фундаментальных последовательностей, причем эти пределы мы берём как бы ниоткуда, из воздуха

Первая половина фразы формально бессмысленна, но годится хоть бы качестве вступления -- для последующей расшифровки. Вторая же половина вместо этого всё портит.

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1191043 писал(а):

Первая половина фразы формально бессмысленна, но годится хоть бы качестве вступления -- для последующей расшифровки. Вторая же половина вместо этого всё портит.

Да нет, для схематичного объяснения сойдёт. Я и сам иногда объясняю в таком духе. Хотя это и формально бессмысленно.
Мы должны добавить к пространству некие идеальные элементы, которые были бы пределами расходящихся фундаментальных последовательностей исходного пространства (не сломав при этом имеющиеся сходимости). Только брать нам их неоткуда, их нет.
Поэтому и приходится придумывать: в качестве таких идеальных элементов брать классы фундаментальных последовательностей, да и элементы исходного пространства тоже отождествлять с такими классами.

[Neinstein]

popolznev,
ewert,
Mikhail_K,
спасибо большое!

Т.е., возвращаясь теперь к конкретному случаю с пополнением $\widetilde{L}_2[a;b]$, интегрируемость расширяется до интегрируемости по Лебегу и вводится (если так можно выразиться) пространство Соболева, в котором определённым образом задано скалярное произведение и длина элемента. Верно?

[ewert]

Neinstein в сообщении #1191076 писал(а):

интегрируемость расширяется до интегрируемости по Лебегу и вводится (если так можно выразиться) пространство Соболева, в котором определённым образом задано скалярное произведение и длина элемента.

Соболев тут пока что не при чём. А так ли это -- зависит от книжки. Можно сначала написать фразу насчёт пополнения и сказать, что позже элементы пополнения будут описаны явно как обычные функции, квадратично интегрируемые по Лебегу (но, между прочим, факторизация всё равно понадобится, только по более простому отношению эквивалентности). А можно наоборот: сначала ввести интеграл Лебега, доказать, что соответствующее пространство полно и затем уже отметить, что оно тем самым является пополнением пространства непрерывных функций.

[popolznev]

ewert в сообщении #1191043 писал(а):

Первая половина фразы формально бессмысленна, но годится хоть бы качестве вступления -- для последующей расшифровки. Вторая же половина вместо этого всё портит.

Пока не поверил. Пока мне видится, что вторая половина как раз частично разъясняет первую (разумеется, с учётом того, что это не формальное рассуждение, а рисование пальцами в воздухе).

-- 09.02.2017, 14:02 --

Mikhail_K в сообщении #1191066 писал(а):

в качестве таких идеальных элементов брать классы фундаментальных последовательностей

Людей, не знакомых с предметом, эти классы эквивалентности нередко (даже скажу: как правило) вгоняют в ступор. Поэтому я специально не написал про классы и на этапе наглядно-интуитивных вступлений-пояснений никогда их не поминаю.

[ewert]

popolznev в сообщении #1191098 писал(а):

а рисование пальцами в воздухе

Рисовать пальцами тоже надо так, чтобы не страдала логика. Например, так: "Идея состоит в том, чтобы добавить в множество пределы всех фундаментальных последовательностей. Однако сделать буквально так нельзя, поэтому пойдём обходным путём. Построим новое множество, часть которого можно будет отождествить с $\mathbb Q$, а остальные элементы интерпретировать как пределы фундаментальных последовательностей. Для этого объявим две фундаментальные последовательности эквивалентными, если..." и т.д.

Говорить же "возьмём из воздуха" -- всего лишь сотрясение воздуха и есть. Оно полезно лишь для запудривание мозгов. Это то же самое, что при введении комплексных чисел сказать: "Введём новый элемент $i$ такой, что $i^2=-1$". Откуда мы его возьмём?... -- а из воздуха! Очень уж хочется.

popolznev в сообщении #1191098 писал(а):

Людей, не знакомых с предметом, эти классы эквивалентности нередко (даже скажу: как правило) вгоняют в ступор.

Ничего не поделаешь -- надо привыкать. И приучать. Например, обращать внимание на то, что понятие факторизации в неявной форме вполне себе встречается и в школе -- скажем, при определении векторов или рациональных чисел.

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1191120 писал(а):

Ничего не поделаешь -- надо привыкать. И приучать. Например, обращать внимание на то, что понятие факторизации в неявной форме вполне себе встречается и в школе -- скажем, при определении векторов или рациональных чисел.

Здесь ещё вот на чём стоит акцентировать внимание: для пополнения пространства, в принципе, неважно, какую природу имеют его элементы. Классы это эквивалентности или не классы. Например, когда мы говорим, что $L_p(a,b)$ есть пополнение $C_p[a,b]$, мы можем мыслить себе элементы пространства $L_p(a,b)$ вовсе не как классы фунадаментальных последовательностей из $C_p[a,b]$ (а как классы эквивалентных друг другу функций в смысле теории меры).

Или, скажем, если мы рассматриваем подпространство $M\subset\mathbb{R}^n$, то его пополнением будет замыкание $\overline M$ в пространстве $\mathbb{R}^n$ (тоже рассматриваемое как подпространство). В этих двух рассмотренных случаях нам есть откуда брать дополнительные элементы, поэтому классы эквивалентности не нужны.

Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей - это просто один из способов построить пополнение пространства, когда брать дополнительные элементы действительно неоткуда.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1191128 писал(а):

когда мы говорим, что $L_p(a,b)$ есть пополнение $C_p[a,b]$, мы можем мыслить себе элементы пространства $L_p(a,b)$ вовсе не как классы фунадаментальных последовательностей из $C_p[a,b]$

Можем. Однако в цитате из стартового поста явно имелось в виду пополнение как процедура, а не как результат.

[Neinstein]

Ещё раз здравствуйте!

На самом деле "образ", предложенный popolznev, позволил саму идею ухватить. Да и на самом деле мне проще всегда представить что-то, пусть даже неправильное, но то, что будет ассоциироваться с конкретным явлением/объектом, и уже от него плясать. Так что спасибо большое!

Пока ознакомился со всем, что здесь написано, понял, что лучше заменить заявленный вопрос на более глобальный. На данный момент стоит конкретная задача — разобраться с методами решений некорректно поставленных задач. Пользуюсь книгой Ягола А.Г., «Обратные задачи и методы их решения». В книге приводится минимум необходимой теории, но понимаю, что знаний в области линейной алгебры, функционального анализа, интегральных уравнений, математического анализа и теории множеств мало. Конечная же цель — научиться понимать язык математики и говорить на нём. Хочу две этих цели совместить, оставляя приоритет за первой. Поэтому буду очень признателен, если кто-нибудь поделится своим опытом по «прокачке» в данных областях математики (имею в виду литературу (желательно такую, которая от простых понятий ведёт к сложным) и задачники).