Произведение НОДа и НОКа

[Gagarin1968]

Здраствуйте.
Сделал курсовую по теории чисел, кроме одного задания.
Задание звучит так: доказать, что произведение любых двух натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Не очень представляю, как подступиться к задаче. Уж очень она абстрактна. Попробовал записать их каноническое разложение, но как? Ведь набор простых множителей у них различен. Использовать для каждого числа алгоритм Евклида - тоже ничего не дало. Подскажите, с чего начать.

[whitefox]

Gagarin1968 в сообщении #1191045 писал(а):

Попробовал записать их каноническое разложение

Обозначим ваши числа как $A$ и $B$, и пусть простое число $p$ входит в разложение числа $A$ в степени $a,$ а в разложение числа $B$ в степени $b.$ Примем для определённости, что $a<b.$

В какой степени простое число $p$ входит в разложение $\gcd(A,B)$ и в какой в разложение $\operatorname{lcm}(A,B)$ ? А в какой в разложение $A\cdot B$ ?

[bot]

Gagarin1968 в сообщении #1191045 писал(а):

Ведь набор простых множителей у них различен.

Почему различен? Каждое простое число входит в разложение с неотрицательным (в том числе и нулевым) показателем.

[Gagarin1968]

whitefox в сообщении #1191050 писал(а):

В какой степени простое число $p$ входит в разложение $\gcd(A,B)$ и в какой в разложение $\operatorname{lcm}(A,B)$ ? А в какой в разложение $A\cdot B$ ?

Если не ошибусь, то мои ответы такие:
1. $a$
2. $b$
3. $a+b$
И что это даёт? Не вижу, ослеп.

[ewert]

Gagarin1968 в сообщении #1191086 писал(а):

1. $a$
2. $b$
3. $a+b$
И что это даёт?

Ну вообще-то если сложить два числа, то получится их сумма.

[bot]

Gagarin1968 в сообщении #1191086 писал(а):

Не вижу, ослеп.

А что получится, если перемножить $p^a$ и $p^b$?

[Gagarin1968]

Блин, пристыдили.
Я правильно понял Вас, bot, что в разложении обоих чисел мы выписываем все подряд простые множители (в соответствующих степенях, естественно): $2\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot p_n$ ? Так? Именно подряд?

[Math_er]

Gagarin1968
Вы пробовали полистать какой-нибудь учебник по теории чисел? Это утверждение практически всегда доказывается в самом начале.

[whitefox]

Gagarin1968 в сообщении #1191086 писал(а):

И что это даёт? Не вижу, ослеп.

Это даёт искомое вами доказательство.

[bot]

Gagarin1968 в сообщении #1191100 писал(а):

Именно подряд?

А что такое подряд? Если по порядку, то это не неважно - главное, чтоб никто не был забыт.

[Gagarin1968]

Math_er в сообщении #1191105 писал(а):

Gagarin1968
Вы пробовали полистать какой-нибудь учебник по теории чисел? Это утверждение практически всегда доказывается в самом начале.

Не только листал, но и изучал. Правда, учусь я на английском.
И потом, Math_er, как Вы думаете, если бы этот пример был в учебнике, включили бы его в курсовую?

[ewert]

Gagarin1968 в сообщении #1191100 писал(а):

Именно подряд?

Мы просто берём множество всех делителей первого и второго числа, и если какой-то делитель присутствует только в одном числе, то приписываем ему для другого нулевую степень.

Да, на всякий случай:

whitefox в сообщении #1191050 писал(а):

Примем для определённости, что $a<b.$

$\leqslant.$

[bot]

ewert в сообщении #1191126 писал(а):

Мы просто берём множество всех делителей первого и второго числа, и если какой-то делитель присутствует только в одном числе, то приписываем ему для другого нулевую степень.

Вот это уже вполне определённо.

-- Чт фев 09, 2017 17:40:15 --

Упс, а почему ewert?
И в самом деле ewert, а я думал ТС.

[whitefox]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1191126 писал(а):

Да, на всякий случай:

whitefox в сообщении #1191050 писал(а):

Примем для определённости, что $a<b.$

$\leqslant.$

Знак $<$ был выбран намерено, в учебных целях. Дабы заставить задуматься: "А если $a=b$" и самостоятельно найти ответ.

[Math_er]

Gagarin1968 в сообщении #1191121 писал(а):

И потом, Math_er, как Вы думаете, если бы этот пример был в учебнике, включили бы его в курсовую?

Вот и я удивлён.
Не знаю что Вы изучали, но, открыв учебник Ю.В. Нестеренко "Введение в теорию чисел", Вы с легкостью обнаружите это утверждение чуть ли не на первой странице.
Вот здесь смотрите стр. 15, следствие 1.1.