2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 12:04 
Аватара пользователя


01/11/14
662
Principality of Galilee
Здраствуйте.
Сделал курсовую по теории чисел, кроме одного задания.
Задание звучит так: доказать, что произведение любых двух натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Не очень представляю, как подступиться к задаче. Уж очень она абстрактна. Попробовал записать их каноническое разложение, но как? Ведь набор простых множителей у них различен. Использовать для каждого числа алгоритм Евклида - тоже ничего не дало. Подскажите, с чего начать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Gagarin1968 в сообщении #1191045 писал(а):
Попробовал записать их каноническое разложение

Обозначим ваши числа как $A$ и $B$, и пусть простое число $p$ входит в разложение числа $A$ в степени $a,$ а в разложение числа $B$ в степени $b.$ Примем для определённости, что $a<b.$

В какой степени простое число $p$ входит в разложение $\gcd(A,B)$ и в какой в разложение $\operatorname{lcm}(A,B)$ ? А в какой в разложение $A\cdot B$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5675
Новосибирск
Gagarin1968 в сообщении #1191045 писал(а):
Ведь набор простых множителей у них различен.

Почему различен? Каждое простое число входит в разложение с неотрицательным (в том числе и нулевым) показателем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 13:42 
Аватара пользователя


01/11/14
662
Principality of Galilee
whitefox в сообщении #1191050 писал(а):

В какой степени простое число $p$ входит в разложение $\gcd(A,B)$ и в какой в разложение $\operatorname{lcm}(A,B)$ ? А в какой в разложение $A\cdot B$ ?

Если не ошибусь, то мои ответы такие:
1. $a$
2. $b$
3. $a+b$
И что это даёт? Не вижу, ослеп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 13:48 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Gagarin1968 в сообщении #1191086 писал(а):
1. $a$
2. $b$
3. $a+b$
И что это даёт?

Ну вообще-то если сложить два числа, то получится их сумма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5675
Новосибирск
Gagarin1968 в сообщении #1191086 писал(а):
Не вижу, ослеп.

А что получится, если перемножить $p^a$ и $p^b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 14:01 
Аватара пользователя


01/11/14
662
Principality of Galilee
Блин, пристыдили.
Я правильно понял Вас, bot, что в разложении обоих чисел мы выписываем все подряд простые множители (в соответствующих степенях, естественно): $2\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot p_n$ ? Так? Именно подряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 14:07 


02/07/11
59
Gagarin1968
Вы пробовали полистать какой-нибудь учебник по теории чисел? Это утверждение практически всегда доказывается в самом начале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 14:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Gagarin1968 в сообщении #1191086 писал(а):
И что это даёт? Не вижу, ослеп.

Это даёт искомое вами доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5675
Новосибирск
Gagarin1968 в сообщении #1191100 писал(а):
Именно подряд?

А что такое подряд? Если по порядку, то это не неважно - главное, чтоб никто не был забыт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 14:25 
Аватара пользователя


01/11/14
662
Principality of Galilee
Math_er в сообщении #1191105 писал(а):
Gagarin1968
Вы пробовали полистать какой-нибудь учебник по теории чисел? Это утверждение практически всегда доказывается в самом начале.

Не только листал, но и изучал. Правда, учусь я на английском.
И потом, Math_er, как Вы думаете, если бы этот пример был в учебнике, включили бы его в курсовую?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 14:34 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Gagarin1968 в сообщении #1191100 писал(а):
Именно подряд?

Мы просто берём множество всех делителей первого и второго числа, и если какой-то делитель присутствует только в одном числе, то приписываем ему для другого нулевую степень.

Да, на всякий случай:

whitefox в сообщении #1191050 писал(а):
Примем для определённости, что $a<b.$

$\leqslant.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5675
Новосибирск
ewert в сообщении #1191126 писал(а):
Мы просто берём множество всех делителей первого и второго числа, и если какой-то делитель присутствует только в одном числе, то приписываем ему для другого нулевую степень.

Вот это уже вполне определённо. :D

-- Чт фев 09, 2017 17:40:15 --

Упс, а почему ewert?
И в самом деле ewert, а я думал ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1191126 писал(а):
Да, на всякий случай:

whitefox в сообщении #1191050 писал(а):
Примем для определённости, что $a<b.$

$\leqslant.$

Знак $<$ был выбран намерено, в учебных целях. Дабы заставить задуматься: "А если $a=b$" и самостоятельно найти ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение НОДа и НОКа
Сообщение09.02.2017, 15:07 


02/07/11
59
Gagarin1968 в сообщении #1191121 писал(а):
И потом, Math_er, как Вы думаете, если бы этот пример был в учебнике, включили бы его в курсовую?

Вот и я удивлён.
Не знаю что Вы изучали, но, открыв учебник Ю.В. Нестеренко "Введение в теорию чисел", Вы с легкостью обнаружите это утверждение чуть ли не на первой странице.
Вот здесь смотрите стр. 15, следствие 1.1.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group