Геометрическое неравенство. 2

[Markiyan Hirnyk]

На плоскости задано точку $O$ и многоугольник $\mathcal{F}$ (не обязательно выпуклый, но без самопересечений). Пусть $ P$ - периметр $\mathcal{F}$, $D$ - сумма расстояний от $O$ до всех вершин $\mathcal{F}$, $H$ - сумма расстояний от $O$ до прямых, содержащих все стороны $ \mathcal{F}$. Доказать неравенство
$D^2-H^2 \ge \frac {P^2} 4$ .
Пожалуйста, отвечайте подробно.

[DeBill]

Пусть точка $O$ фиксирована.
1. "Одноугольником" $\Delta$ будем называть любой отрезок $AB$, его длиной $d$ - - полусумму длин отрезков $OA$ и $OB$, высотой $h$- длину высоты из $O$ на $AB$, полупериметром $p$ - половинку длины $AB$, векторной длиной - длину вектора $e = (p,h)$ (а сам этот вектор назовем базой одноугольника).
Лемма. Векторная длина одноугольника не превышает его длины.
Док-во. Пусть $M$ середина $AB$, точка $N$ - на серединном перпендикуляре к $AB$ - по ту же сторону, что и $O$, и на том же расстоянии от $AB$, тогда "векторная длина" $r$ - это длина отрезка $AN=NB$. Значит, $r \leqslant d$ (точка $O$ лежит на касательной к эллипсу с фокусами $A,B$ и малой полуосью $MN$ -т.е., вне него, в силу выпуклости его).
2. "Многоугольником" (и даже не обязательно плоским) будем называть любую систему одноугольников. Его длиной (базой) назовем сумму длин (баз) составляющих его одноугольников. Имеем: длина базы (по неравенству тр-ка) не превышает суммы длин баз, и (по лемме) не превышает длины многоугольника:
$\sqrt{(\sum\limits_{}^{}p_i)^2 +(\sum\limits_{}^{}h_i)^2}= \left\lVert(\sum\limits_{}^{}p_i,\sum\limits_{}^{}h_i)\right\rVert=\left\lVert\sum\limits_{}^{}e_i \right\rVert \leqslant \sum\limits_{}^{}\left\lVert e_i\right\rVert \leqslant$ по лемме $\leqslant\sum\limits_{}^{} d_i$
Однако, это и есть что надо: для честного многоугольника, полусуммы расстояний до его вершин вместе как раз и дают сумму расстояний....

[Markiyan Hirnyk]

DeBill Спасибо за внимание к задаче и ваш труд. Вы пишите

Цитата:

точка $N$ - на серединном перпендикуляре к $ AB$ - по ту же сторону, что и $O$, и на том же расстоянии от $AB$, тогда "векторная длина" $r$ - это длина отрезка $AN=NB$. Значит, $r \leqslant d$ (точка $ O$ лежит на касательной к эллипсу с фокусами $A,B$ и малой полуосью $MN$

Пожалуйста, объясните, как вы понимаете расстояния от точек $O$ и $N$ до отрезка $AB$. Без этого растолкования дальнейшее изложение мне непонятно.

[Sergic Primazon]

Пусть $x_{i,1} , x_ {i,2}$ -расстояния от основания высоты опущенной на $i$ -ю сторону до $ A_i $ и $A_{i+1}$
Тогда:

$$2D = \sum (\sqrt {h_i^2+x_{i, 1}^2}+\sqrt {h_i^2+x_{i, 2}^2}) \ge 2 \sqrt {H^2+p^2}$$

[Markiyan Hirnyk]

Sergic Primazon Спасибо внимание к задаче и ваш труд. Вы пишите

Цитата:

$\dots \ge 2\sqrt{H^2+P^2}$

. Пожалуйста, обоснуйте это место.

[Sergic Primazon]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1190799 писал(а):

Sergic Primazon Спасибо внимание к задаче и ваш труд. Вы пишите

Цитата:

$\dots \ge 2\sqrt{H^2+P^2}$

. Пожалуйста, обоснуйте это место.

($ p$ - полупериметр)

Неравенство Минковского

[Markiyan Hirnyk]

Пожалуйста, подробнее. Как у А. Галича - А из зала мне кричат: "Давай подробности!". В условии задачи $P$ - это периметр.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1190786 писал(а):

расстояния от точек $O$ и $N$ до отрезка $AB$

Расстояние от точки до отрезка (прямой) - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

[Markiyan Hirnyk]

DeBill Спасибо. Сейчас занят. Продолжим обсуждение позже.