Пусть точка

фиксирована.
1. "Одноугольником"

будем называть любой отрезок

, его длиной

- - полусумму длин отрезков

и

, высотой

- длину высоты из

на

, полупериметром

- половинку длины

, векторной длиной - длину вектора

(а сам этот вектор назовем базой одноугольника).
Лемма. Векторная длина одноугольника не превышает его длины.
Док-во. Пусть

середина

, точка

- на серединном перпендикуляре к

- по ту же сторону, что и

, и на том же расстоянии от

, тогда "векторная длина"

- это длина отрезка

. Значит,

(точка

лежит на касательной к эллипсу с фокусами

и малой полуосью

-т.е., вне него, в силу выпуклости его).
2. "Многоугольником" (и даже не обязательно плоским) будем называть любую систему одноугольников. Его длиной (базой) назовем сумму длин (баз) составляющих его одноугольников. Имеем: длина базы (по неравенству тр-ка) не превышает суммы длин баз, и (по лемме) не превышает длины многоугольника:

по лемме

Однако, это и есть что надо: для честного многоугольника, полусуммы расстояний до его вершин вместе как раз и дают сумму расстояний....