Релятивистский разгон

[Munin]

"Второй метод" называется "через законы сохранения", и действительно очень мощный во всевозможных задачах по физике. В отличие от "первого", "детального". Но для него надо, чтобы в задаче какие-то законы сохранения были. И поэтому физики их специально ищут. Иногда находят очень нетривиальные, например, вектор Лапласа.

[DimaM]

(Оффтоп)

Про цикл неинтересной задача показалась?

[Munin]

Munin в сообщении #1185214 писал(а):

Замечание: к сожалению, движение не является гиперболическим, если начальная скорость не сонаправлена с силой. Подсказку даёт та же электродинамика: перейдя в начальную ИСО частицы, мы увидим магнитное поле, которое будет отклонять частицу от прямой линии. Однако, кажется, в итоге линия тоже будет красивой: "спираль, намотанная на гиперболу". В ЛЛ-2 дан только частичный результат, хотя указан путь к полному: разложить движение на разные направления. Думаю, ответ можно получить из соображений симметрии...

Задача просто интегрируется "в лоб" (straightforward), но ответ мне не кажется красивым. Искать его из симметрий лень, и я не надеюсь на успех.

Пусть частица движется с начальной скоростью $\mathbf{v}_0=v_0\mathbf{i},$ и на неё действует постоянная сила $\mathbf{f}=f\mathbf{j}$ (на электродинамическом языке - частица движется в постоянном электрическом поле $\mathbf{E}=E\mathbf{j}$). Компоненту по $z$ не буду выписывать.

Тогда $p^\mu=(m\gamma,p_x,p_y)=(m\gamma,p_0,ft),\quad p_0=\mathrm{c onst},\quad f=\mathrm{c onst}.$ Само изменение $\mathbf{p}(t)$ известно, но для перехода к скорости надо найти гамму (даже можно сразу $m\gamma$).
$p_\mu p^\mu=m^2\gamma^2-p_0^2-f^2t^2=m^2$
$(m\gamma)^2=p_0^2+f^2t^2+m^2$
$v_x=\dfrac{p_x}{m\gamma}=\dfrac{p_0}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}}=\dfrac{dx}{dt}$
$v_y=\dfrac{p_y}{m\gamma}=\dfrac{ft}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}}=\dfrac{dy}{dt}$

$x={\displaystyle\int\dfrac{p_0\,dt}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}}}=\dfrac{p_0}{f}\ln\bigl(ft+\textstyle\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}\bigr)$
$y={\displaystyle\int\dfrac{ft\,dt}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}}}=\dfrac{1}{f}\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}$

---- Update: ниже лажа...

Если обозначить $\sh\Theta=\dfrac{ft}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}=E_0},$ то
$x=(p_0/f)\,\Theta$
$y=f^{-1}\ch\Theta$

Хм-м-м, не так уж некрасиво и не так уж "несимметрично"...

[fred1996]

DimaM в сообщении #1185438 писал(а):

(Оффтоп)

Про цикл неинтересной задача показалась?

(Оффтоп)

На мой непритязательный взгляд даже очень красивая.
Я уже включил ее в цикл подготовки своих олимпиадников к мартовскому финалу американской олимпиады USAPHO.
Там почти всегда присутствует задача на термодинамический цикл.

[DimaM]

Munin в сообщении #1189939 писал(а):

Хм-м-м, не так уж некрасиво и не так уж "несимметрично"...

Для $y$ последнее выражение неверно, а в предпоследнем еще нужно нижний предел интегрирования подставить.

[Munin]

Тьфу, $\sqrt{p_0^2+m^2}=E_0.$

Да, что-то я накосячил с последним выражением.

-- 05.02.2017 20:16:36 --

А нижний предел меня не интересует, я же могу сдвигать начало координат, как мне удобней (и в исходной задаче это и было удобней).

-- 05.02.2017 20:33:26 --

Цитата:

Если обозначить $\sh\Theta=\dfrac{ft}{\sqrt{p_0^2+m^2}=E_0},$ то
$x=(p_0/f)\,\Theta$
$y=(E_0/f)\ch\Theta$
$t=(E_0/f)\sh\Theta$

Вот так как-то... Проверьте, пожалуйста.

[DimaM]

Munin в сообщении #1190060 писал(а):

Вот так как-то... Проверьте, пожалуйста.

Да, теперь верно.
Если все же хочется, чтобы $Y(0)=0$, то будет $y=(E_0/f)(\ch\Theta-1)$

[Munin]

Нешкольным мне кажется здесь взятие интегралов. Я сжульничал: в таблицу подсмотрел.

Собственно, к теме я вернулся, когда по другому поводу мне захотелось "увидеть" наглядно неинвариантность поперечной силы. Насколько это прозрачно из получившегося ответа?

[DimaM]

Munin в сообщении #1190814 писал(а):

Собственно, к теме я вернулся, когда по другому поводу мне захотелось "увидеть" наглядно неинвариантность поперечной силы. Насколько это прозрачно из получившегося ответа?

Неинвариантность относительно чего?

[Munin]

Бустов вдоль скорости частицы. В начале темы я обнаружил инвариантность силы продольной, что мне понравилось.