Геометрическая иллюстрация неравенства Коши-Буняковского

[fractalon]

Речь идёт о частном случае неравенства: $(a_1+\dots+a_n)^2 \le n (a_1^2 + \dots a_n^2)$.
Я имею ввиду иллюстрацию на двумерной плоскости в виде правильным образом смещённых квадратов.
Для случая $n=2$ проиллюстрировать $(a+b)^2 \le a^2 + b^2$ очень просто - достаточно внутри квадрата $(a+b) \times (a+b)$ нарисовать квадраты $a \times a$ в противоположных углах и квадраты $b \times b$ в других противоположных углах. Тогда весь квадрат $(a+b) \times (a+b)$ будет заполнен (да ещё и что-то на что-то наложится).
А есть ли подобные алгоритмы замощений для $n>2$?

Если стандартно доказывать неравенство по индукции $(a_1+\dots+a_n)^2 = (a_1+\dots+a_{n-1})^2+a_n^2 + a_n (a_1 + \dots + a_{n-1})$, то на плоскости это будет выглядеть как дорисовка квадрата $a_n \times a_n$ и множества прямоугольников $a_i \times a_n$. А всегда ли можно обойтись без прямогуольников, а только $n$ точными копиями (каждого из) квадратов $a_i \times a_i$?

[fractalon]

Ещё было бы интересно чтобы замощение не зависило от того, для каких пар $(i,j)$ будет $a_i \le a_j$, а для каких $a_i \ge a_j$. Например, при $a_1 \le a_2 \le a_3$ можно придумать простой способ замощения для $n=3$: расположить для начала стенки квадратов вдоль стенок большого:
_312_
3___2
2___1
1___3
_123_
Здесь цифры $i$ означают, что квадраты $a_i \times a_i$ прижаты к соответствующей стенке в указанном порядке. Тогда легко доказать, что оставшаяся незаполненной область можно накрыть квадратом $a_3 \times a_3$.
Но этого может не быть если $a_2 < a_1 < a_3$ (например, при $a_1=4, a_2=2, a_3=5$). Отсюда и пожелание дополнительного условие о независимости об упорядоченности.

Итак, попробую формализовать. Для данного $n$ найти линейные (другие, кажется, бессмысленно тут рассматривать) функции $(x_{ij} : {\mathbb R}^n \to {\mathbb R})_{1 \le i \le n, 1 \le j \le n}$ и $(y_{ij} : {\mathbb R}^n \to {\mathbb R})_{1 \le i \le n, 1 \le j \le n}$ такие, что для всякого набора $\overline{a}=(a_i)_{i=1}^{n}$ и для любой точки $(x',y')$ нашлись бы $i,j$ такие, что $x_{ij} (\overline{a}) \le x' \le x_{ij} (\overline{a}) + a_i$ и $y_{ij} (\overline{a}) \le y' \le y_{ij} (\overline{a}) + a_i$

И есть серьёзное интуитивное подозрение, что в качестве этих функций имеет смысл рассматривать функции вида $\sum \limits_{i \in I} {a_i}$, где $I \subset {1, \dots, n}$, то есть не ставить коэффициенты больше единицы.

[crazy_taxi_driver]

Я как нематематик, задам нематематический вопрос. Стандартная форма нер-ва К-Б-Шварца имеет известный геометрический смысл. Имеется какая-либо мотивировка этим замощениям? Зачем, откуда они?

[fractalon]

(Оффтоп)

crazy_taxi_driver

Ну дело в том, что большинство встречаемых мною применений этого неравенства (в теории чисел в основном) имеют именно такой вид: $\left({ \sum \limits_{i=1}^{n} {a_i} }\right)^2 \le n \sum \limits_{i=1}^{n} {a_i^2}$, то есть это применение общей формулы неравенства к векторам $(a_1, \dots, a_n)$ и $(1,\dots,1)$ при произвольно больших $n$, что уже затирает всякий геометрический смысл в интуитивной плоскости и делает применение неравенства сугубо "техническим".
Этот момент меня и взволновал потому что в доказательствах я всегда стараюсь найти момент где ломается интуиция, где общая картина взаимосвязи всех рассматриваемых величин вдруг становится неосознаваемой целиком, в виде единого рисунка (в общем, образном смысле).
И вот читаю я недавно журнальную вырезку, где в числе прочих рассматривается теорема про множества вида $A+B=\left\{ {a+b\ :\ a \in A, b \in B} \right\}$. Там рассматривается величина $E(A,A)$, определяемая как количества решений уравнения $x_1+y_1=x_2+y_2$, при $x_1, x_2 \in A, y_1, y_2 \in B$, и доказывается, что $|A+B||E(A,B)| \le |A|^2 |B|^2$.
И доказывается это как раз через КБШ, потому что $|A||B|=\sum \limits_{s \in A+B} {I_s}$ и $E(A,B)=\sum \limits_{s \in A+B} {{I_s}^2}$, где $I_s$ - количество представлений $s=a+b, a \in A, b \in B$.
Так как в этой журнальной вырезке, где кроме этой есть много других теорем, для многих теорем о размере множеств даются абсолютно прозрачные доказательства через взаимооднозначные соответствия типа:
==
Рассмотрим отображение $(u,y) \to (v(y)-u, u-w(y))$. По $(v(y)-u, u-w(y))$ можно однозначно восстановить исходную пару $(u,y)$, значит, множество пар $(u,y)$ меньше чем множество, которому принадлежат в том числе и все пары вида $(v(y)-u, u-w(y))$
==
то мне очень захотелось здесь "взломать" неравенство Коши-Буняковского и попробовать дать неравенству про $E(A,B)$ такое же чёткое, ясное доказательство через прямое отображение.

Беру все эти размышления в тэг оффтопа потому что понимаю, что они могут показаться лишними и излишне самоцельными, но заданная в теме задача сама по себе корректна и без них, и выложил я её потому что она сама по себе мне показалась интересной. Ну и потому что у меня не получается пока её решить с первого наскока.

[sergei1961]

Шварц тут ни при чём в этом неравенстве. Он и сам достаточно сделал, чтобы ему ещё и чужое приписывать.

[fractalon]

Удалось доказать небольшим перебором, что для $n=3$ решения поставленной задачи нет, в строгой форме, с линейными функциями, не зависящими от упорядочения $a_i$.
А вот для $n=2^k$ итерацией процедуры для $n=2$ таковое получить легко. Интересно, возможно ли для каких-то $n$ кроме степеней двойки.