Сумма последовательности.

[bayah]

Задача найдите формулу для суммы следующей последовательности:
$1+3x^2+5x^4+7x^6+\ldots+(2n+1)x^{2n}$

И есть подсказка, которая заключается в том, что решение как-то завязано на производную. Так как тема собственно производные.
Не пойму, каким образом тут этим можно воспользоваться?

Можно найти отдельно сумму ряда:
$3+5+\ldots+(2n+1) = (n+1)^2 - 1$

и ряда:
$1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2n} = \dfrac{x^{2(n+1)}-1}{x^2-1}$

Не знаю как это может помочь в дальнейшем и может ли вообще? Туда ли я копаю вообще?
Намекните как нибудь, пожалуйста?

[Metford]

bayah в сообщении #1190036 писал(а):

есть подсказка, которая заключается в том, что решение как-то завязано на производную.

А сами слагаемые отдельные Вам ничего не напоминают?

[dsge]

Рассмотрите ряд с нечетными степенями.

[Someone]

bayah в сообщении #1190036 писал(а):

И есть подсказка, которая заключается в том, что решение как-то завязано на производную.

А Вы, к несчастью, формулы производных не помните?

[fractalon]

Подумайте, производной какой последовательности является приведённая в условии.

[bayah]

Metford в сообщении #1190037 писал(а):

А сами слагаемые отдельные Вам ничего не напоминают?

Ааа...блин, все - решил. Этих слов было достаточно))
Всем спасибо)

[bayah]

Раз уж спросил, запишу и решение:

$1+3x^2+5x^4+7x^6+\ldots+(2n+1)x^{2n}$

Запишем сумму последовательности через производные:
$(x)'+(x^3)'+(x^5)'+(x^7)'+\ldots+(x^{2n+1})'$
или
$(x+x^3+x^5+x^7+\ldots+x^{2n+1})'$

То есть можно найти сумму новой последовательности, а потом взять производную.
Пусть $a=x^2$, тогда:
$x+x^3+x^5+x^7+\ldots+x^{2n+1} = a^{\frac 1 2}+a^{\frac 3 2}+a^{\frac 5 2}+a^{\frac 7 2}+\ldots+x^{\frac {2n+1}{2}} = a^{\frac 1 2}(1+a+a^2+a^3+\ldots+a^{n})$
Теперь по формуле сокращенного умножения ($a^n - b ^n$) получим:
$a^{\frac 1 2}(1+a+a^2+a^3+\ldots+a^{n})= \dfrac{a^{\frac 1 2}(a^{n+1} - 1)}{a-1}$

Сделаем обратную замену:
$\dfrac{a^{\frac 1 2}(a^{n+1} - 1)}{a-1} = \dfrac{x(x^{2(n+1)} - 1)}{x^2-1} = \dfrac{x^{2n+3} - x}{x^2-1} $

Возьмем производную:
$\Big(\dfrac{x^{2n+3} - x}{x^2-1}\Big)' = \dfrac{(x^{2n+3} - x)'(x^2-1) - (x^{2n+3} - x)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}$

В результате преобразований получим:
$(2n+3)x^{2n+4} - x^2 - (2n+3)x^{2n+2}+1-2x^{2n+4}+2x^2$

[Лукомор]

bayah в сообщении #1190249 писал(а):

В результате преобразований получим:

Забавно!
У Вас при $x=1$ сумма ряда любой длины равна нулю!

[Sinoid]

bayah в сообщении #1190249 писал(а):

Сделаем обратную замену:

Обратная замена не совсем однозначна. Я бы здесь

bayah в сообщении #1190249 писал(а):

$x+x^3+x^5+x^7+\ldots+x^{2n+1} = a^{\frac 1 2}+a^{\frac 3 2}+a^{\frac 5 2}+a^{\frac 7 2}+\ldots+x^{\frac {2n+1}{2}} = a^{\frac 1 2}(1+a+a^2+a^3+\ldots+a^{n})$

ничего не заменял, а просто подсчитал.

[Someone]

bayah в сообщении #1190249 писал(а):

Пусть $a=x^2$

Зачем для вычисления суммы геометрической прогрессии делать какую-то замену?

И случай $x^2-1=0$, конечно, надо рассмотреть отдельно.

Лукомор в сообщении #1190266 писал(а):

У Вас при $x=1$ сумма ряда любой длины равна нулю!

Знаменатель потерялся.

[Лукомор]

Someone в сообщении #1190280 писал(а):

Знаменатель потерялся.

Я не вникал в эти выкладки...
Просто подставил первое, что пришло в голову: $n=1$ и $x=1$.
Получил $1+3=0$, а потом заметил что сумма будет нулевой при любом $n$, если $x=1$.

[Someone]

(Оффтоп)

Лукомор, Вы совершенно правы. Но я Вам претензий и не предъявлял, я просто предположилл правдоподобную причину происшествия.

[Metford]

Я может быть подзабыл что-то в терминологии, но господа, разве хорошо называть "суммой ряда" сумму конечного числа слагаемых? "Ряд" вроде бы подразумевает нечто другое...

[arseniiv]

Раз каждой сумме конечного множества слагаемых соответствует несколько рядов, у которых в начале эти слагаемые, а потом до самого конца нули, и суммы всех этих рядов совпадают с первой, то можно считать вольностью речи.

[bayah]

Лукомор в сообщении #1190266 писал(а):

Забавно!
У Вас при $x=1$ сумма ряда любой длины равна нулю!

Да, извините, забыл, в задаче нужно было получить формулу для случая $x\neq\pm1$.

Someone в сообщении #1190280 писал(а):

Зачем для вычисления суммы геометрической прогрессии делать какую-то замену?

Ну да, я забыл заметить прогрессию и по сути через формулу ее же и получил)