Вложимое пространство

[demolishka]

Пусть $E$ --- сепарабельное рефлексивное вложимое пространство. "Вложимое" означает, что существует такое гильбертово пространство $H$, что вложение $E \subset H \subset E^{*}$ плотно и непрерывно, а билинейная форма $(y,x) \ (y \in E^{*}, x \in E)$ совпадает со скалярным произведением в $H$, когда $x,y \in H$. Пусть $\|.\|, \|.\|_{*}, |.|$ --- нормы в $E, E^{*}$ и $H$ соответственно.

Утверждается, что в этом случае $|x| \leq \|x\|$ для $x \in E$. У меня не получается это доказать.

Используя двойственность

$$\|x\| = \sup\limits_{f \in E^{*}, f \not=0}\frac{|f(x)|}{\|f\|_{*}} \geq \sup\limits_{y \in H, y \not=0}\frac{|(y,x)|}{\|y\|_{*}} \geq \frac{|x|^2}{\|x\|_{*}}.$$

Далее конечно хочется показать, что $\|x\|_{*} \leq |x|$. С одной стороны, $|x| = \sup\limits_{y \in H,y \not =0}\frac{|(x,y)|}{|y|}$. С другой, $\|x\|_{*}=\sup\limits_{y \in E, y\not=0}\frac{|(x,y)|}{\|y\|}$. И опять встает вопрос о соотношении норм $|.|$ и $\|.\|$.

[demolishka]

Это неверно. Достаточно взять $E=L^{3}[0,T]$, $H=L^2[0,T]$ и $E^{*} = L^{\frac{3}{2}}[0,T]$. Среднее куба маленькой функции будет меньше среднего квадрата.

Тогда становится непонятным самое начало доказательства предложения 4 (Левитан Б. М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения стр. 153), где утверждается именно это неравенство. И тот факт, что в данном случае $u(t)$ -- тригонометрический многочлен ничего не меняет.



Другое дело, что выше я показал неравенство $|x|^{2} \leq \|x\| \|x\|_{*}$. Отсюда

$$\int\limits_{0}^{T}|u(t)|^{2} dt \leq \int\limits_{0}^{T}\|u(t)\|\|u(t)\|_{*}dt \leq \left(\int\limits_{0}^{T}\|u(t)\|^{p}dt\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int\limits_{0}^{T}\|u(t)\|^{q}dt\right)^{\frac{1}{q}} \leq \|u\|^{2}_{D}.$$

Поэтому сама идея доказательства проходит, но с другими оценками.

UPD: По моим рассуждениям получается оценка $|u(t_0)|^2 \leq T^{-1} \|u\|^{2}_{D}$, которая в конечном итоге используется в конце доказательства. Так что авторы видимо просто напортачили с началом.