Аналитическое продолжение и регулярные ветви

[lulusa]

Доброго времени суток!

Я начал изучать аналитическое продолжение регулярных функций в комплексной плоскости.

На лекции был пример, что если мы зададим элемент с функцией рег. ветви $\sqrt[3]{z}$, то продолжать по цепочке элементов (да и по кривой) можно по-разному, то есть если мы пойдем двумя разными цепочками в одну и ту же конечную точку, то конечные элементы будут не эквивалентыми.

Когда расписывают на доске вроде все понятно, но интуитивно вообще не ясно. Почему все-таки конечные элементы разные? Мы ведь в обоих случаях в процессе движения по цепочке используем теорему единственности, которая гарантирует тождественное равенство функций соседних элементов в области объединения их кругов (где элементы заданы). Вроде бы тождественно, да в итоге ничего не тождественно... вот есть ли какое-то качественное объяснение происходящего?

[пианист]

Используйте представление комплексного числа в виде $re^{i\varphi}$ и проследите, как меняется аргумент образа, когда в прообразе мы делаем оборот вокруг $0$.
По-моему, все б.-м. наглядно.

[lulusa]

Да, технически все понятно.

Но может я как-то не так понимаю теорему единственности? Почему так получается, что результат не противоречит теореме?

[ex-math]

Сформулируйте теорему и утверждение, которое ей по-Вашему противоречит.

[ewert]

lulusa в сообщении #1189406 писал(а):

Когда расписывают на доске вроде все понятно, но интуитивно вообще не ясно. Почему все-таки конечные элементы разные?

Мне вообще непонятно, зачем взялось это утверждение (как раз интуитивно-то ясно, что с какой, собственно, стати). Однако попробую всё же разгадать лектора. Скорее всего, он таким замысловатым путём подводил вас к различию точек ветвления конечного порядка и бесконечного (логарифмическими).

[lulusa]

ex-math, пусть две функции регулярны в области $D$, и в $D$ имеется сходящаяся последовательность точек с предельной в $D$. Если функции равны в точках последовательности, то они тождественно равны во всем $D$.

В нашем случае объединение двух соседних кругов -- область D. Пересечение соседних кругов непусто -- условия теоремы выполнены.
Как же так получается, что по одной цепи все функции тождественно совпадают с начальной, по другой также все тождественны с первой. Но результат в итоге разный. Где нарушается транзитивность тождественности (прошу прощения, если криво сформулировал. Надеюсь, понятно, что я хочу этим сказать)

[Otta]

lulusa
Вы можете привести пример, который Вас так озадачивает? А то так и будем гадать. :(

[lulusa]

Otta
https://yadi.sk/i/PWX1BzEa3Ckx4P

[ex-math]

Мне кажется, что Вас путает эта "цепочка тождественностей". Ведь это всего лишь построение, а надо смотреть на результат. Вот скажите, что получилось в конечном итоге? Какие две функции, какова область $D$? Где они совпадают, а где нет?
Подскажу: чтобы получить противоречие, нужно в качестве $D$ брать все Ваши четыре круга. Но в такой области ни одна из ветвей не будет аналитической. Если же $D$ разрезать, чтобы обеспечить им аналитичность, то негде будет приходить к противоречию.
Советую познакомиться еще с понятием римановой поверхности. При обходе нуля Вы на самом деле не возвращаетесь к той же точке, а переходите на другой экземпляр плоскости, как говорят, на другой лист. В точке ветвления эти листы определенным образом склеены. На такой поверхности наша функция однозначна.

[Vince Diesel]

lulusa в сообщении #1189632 писал(а):

Где нарушается транзитивность тождественности

Представление римановой поверхности корня как некой винтовой поверхности вам знакомо? Или, для простоты, рассмотрим многозначную (действительную) функцию на окружности, графиком которой является спираль. Например, с шагом единица. Вот есть точка на спирали, она проектируется на окружность. Если немного сдвинуться по спирали (а на проекции по окружности), то что влево идти, что вправо, траектория однозначна. Однако если сделать полный оборот, на окружности получится та же точка, а высота изменится на единицу.

[vpb]

Помнится, я еще в школьные годы познакомился с такими вещами по книжке (предназначенной для школьников) В.Б.Алексеев, Теорема Абеля в задачах и решениях. Может и Вам полезно будет.