Мне кажется, что Вас путает эта "цепочка тождественностей". Ведь это всего лишь построение, а надо смотреть на результат. Вот скажите, что получилось в конечном итоге? Какие две функции, какова область

? Где они совпадают, а где нет?
Подскажу: чтобы получить противоречие, нужно в качестве

брать все Ваши четыре круга. Но в такой области ни одна из ветвей не будет аналитической. Если же

разрезать, чтобы обеспечить им аналитичность, то негде будет приходить к противоречию.
Советую познакомиться еще с понятием римановой поверхности. При обходе нуля Вы на самом деле не возвращаетесь к той же точке, а переходите на другой экземпляр плоскости, как говорят, на другой лист. В точке ветвления эти листы определенным образом склеены. На такой поверхности наша функция однозначна.