Дифур. не получается разделить переменные

[Ivan 09]

$3y^2y'+\frac{y^3}{x}=x+1$
делаем замену
$u=xy$
Тогда
$y=\frac u x$
Откуда
$y'=\frac {u'}{x}-\frac{u}{x^2}$.

Подставляем,
$3\frac{u^2}{x^2} (\frac{u'}{x}-\frac{u}{x^2})+\frac{u^3}{x^4}=x+1$
$\frac{3u^2\cdot u'}{x^3} -\frac{2u^3}{x^4}=x+1$
Как разделить переменные?
Или я неправильно замену сделал?
если домножим на $x^3$ и поделить на $u^2$ то у меня не получается избавится от $x$
в итоге
$3u'-\frac{2u}{x}=\frac{x^3\cdot (x+1)}{u^2}$

[Mihr]

Попробуйте: $y=uv$.

[Ivan 09]

Mihr
спасибо вам, попробуем, уже забылась теория , сегодня вечером попробую решить, и завтра отпишусь в этой теме если не получится.

[loser228]

А если так : $u=y^3$ , тогда получим линейное уравнение $u' + \frac{u}{x} =x+1$ .

[Ivan 09]

loser228
Спасибо.
все получилось..
результат проверил - все правильно.

[sergei1961]

Делим на $y^2$, получаем в чистом виде Бернулли, как в учебнике. Потом $y=uv$, как предлагалось.

[Ivan 09]

sergei1961
у меня пока мало опыта в решение диф. уравнений.
в свое время по ним была хорошая оценка, контрольные писал нормально.
но я уже как 5 лет с ними не сталкивался, многое позабылось.
когда увидел замену $y=uv$ сходу не смог решить(надо было убегать), а после второй подсказки решил проверить и получилось, мне показался такой метод удобным. Решилось все сходу.
Mihr ещё раз спасибо

[Metford]

Добавлю и я тогда. По-моему здесь нормально работает метод вариации произвольной постоянной.

(Оффтоп)

Shtorm
Вот Вам пример уравнения, не являющегося линейным, но решаемого этим методом.

[Mihr]

Ivan 09, пожалуйста.
На самом деле в данном случае наиболее простым является то решение, которое предложил loser228. Но я постарался ответить именно на тот вопрос, который Вы задали. Вы ведь спрашивали не о том, как проще решить данное уравнение, а о том, как разделить в нём переменные. Именно на вопрос о том как разделить переменные я и ответил. Метод подстановки позволяет свести решение ЛДУ или уравнения Бернулли к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

[ewert]

Metford в сообщении #1189582 писал(а):

По-моему здесь нормально работает метод вариации произвольной постоянной.

Это ровно и есть $uv$ (т.е. метод Бернулли), только в другом словесном обрамлении. Для линейного уравнения оба варианта кажутся разными, но лишь кажутся. Просто метод вариации общее (тут это лишь частный случай аналогичного подхода к линейным уравнениям высших порядков).

А вот степенная замена, приводящая к линейному -- это уже существенно другой подход.

[abiturient]

Еще сразу в глаза бросается, что $(xy(x)^3)'=3y(x)^2y'(x)x+y(x)^3$

[ewert]

abiturient в сообщении #1189589 писал(а):

Еще сразу в глаза бросается, что $(xy(x)^3)'=3y(x)^2y'(x)x+y(x)^3$

Ну именно это, возможно, и имел в виду loser228 в своей рекомендации. Стандартный же подход (второй из станартных) к уравнениям Бернулли таков: сделать замену $y=u^{\alpha}$ и подобрать альфу так, чтобы после сокращения получилось линейное уравнение. Здесь вот как раз $\alpha=\frac13$ и выйдет, и вовсе не из-за множителя $3$ в первом слагаемом (этот множитель как раз не важен), а из-за второй степени игрека в первом (и, соответственно, третьей во втором).

[abiturient]

Возможно. Просто, когда видно сразу, что справа и слева выделяется полная первообразная, решение записывается сходу, без применения методов. Я про это.

[ewert]

Ну это да. Но и уметь работать по шаблонам -- тоже полезно.

-- Сб фев 04, 2017 00:53:00 --

Да, ещё:

Mihr в сообщении #1189583 писал(а):

Вы ведь спрашивали не о том, как проще решить данное уравнение, а о том, как разделить в нём переменные. Именно на вопрос о том как разделить переменные я и ответил

Не очень хорошо вводить в заблуждение. Товарищ ведь явно надеялся разделить их за один шаг. Здесь этого не выйдет принципиально. То, что по ходу решения выскакивают какие-то вспомогательные уравнения с разделяющимися переменными -- разделением не называется.

[Ivan 09]

ewert
Да, этот пример взят из контрольной работы, не могу точно сказать какой курс и какая специализация.
меня просили помочь с интегралами . И с ними я справился довольно быстро(они были несложные), а следом за ними шел дифур, который я думал решается быстро и легко. и ваше замечание относительно одного шага полностью подтверждается.
конечно с ним я не помог, но стало любопытно.
там были также задание на ряды, и у меня с ними тоже плохо.
Хочу научиться решать стандартные контрольные, чтоб если будет совсем плохо с финансами, иметь возможность заработать.